Русская Википедия:Алгебра множеств
Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества <math>X</math>, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).
Определение
Семейство <math>\mathfrak{A} \subset 2^{X}</math> подмножеств множества <math>X</math> (здесь <math>2^{X}</math> — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
- <math>\varnothing\in \mathfrak{A}.</math>
- Если множество <math>A\in \mathfrak{A}</math>, то и его дополнение <math>X\setminus A\in\mathfrak{A}.</math>
- Объединение двух множеств <math>A,B\in \mathfrak{A}</math> также принадлежит <math>\mathfrak{A}.</math>
Замечания
- По определению, если алгебра содержит множество <math>A</math>, то она содержит и его дополнение. Объединением <math>A</math> с его дополнением является исходное множество <math>X</math>. Дополнением к множеству <math>X</math> является пустое множество. Это означает, что множество <math>X</math> и пустое множество содержится в алгебре по определению.
- В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
- Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
- Если исходное множество <math>X</math> является пространством элементарных событий, то алгебра <math>\mathfrak{A}</math> называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.
Алгебра событий
Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий <math>\Omega</math>, элементами которого служат элементарные события.
Как и положено алгебре множеств, алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со счётным количеством множеств, называется сигма-алгеброй событий.
В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:
- алгебра конечных подмножеств <math>\Omega</math>;
- сигма-алгебра счётных подмножеств <math>\Omega</math>;
- алгебра подмножеств <math>{\mathbb{R}}^n</math>, образованная конечными объединениями интервалов;
- сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства <math>\Omega</math>, то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества <math>\Omega</math>;
- алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.
Событие <math> A + B </math> или <math>A \cup B </math>, заключающееся в том, что из двух событий <math> A </math> и <math> B </math> происходит по крайней мере одно, называется суммой событий <math> A </math> и <math> B </math>.
Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности <math>\mathbb{P}</math>, то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где <math>\mathbb{P}(\Omega) = 1</math>.
Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определённой на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.
См. также
Примечания
Литература
{rq|refless|sources}
