Русская Википедия:Алгебра над кольцом
Шаблон:О Шаблон:Другие значения Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.
Определения
Пусть <math>K</math> — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль <math>A</math> над кольцом <math>K</math>, в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом <math>K</math>) <math>f\colon A\times A\rightarrow A</math> определено произведение согласно равенству <math>ab=f(a,b)</math>, называется алгеброй над <math>K</math> или <math>K</math>-алгеброй.
Согласно определению, для всех <math>k,\;l\in K</math> и <math>a,\; b,\; c\in A</math> справедливы соотношения:
- <math>a(b+c)=ab+ac</math>
- <math>(a+b)c=ac+bc</math>
- <math>(k+l)a=ka+la</math>
- <math>k(a+b)=ka+kb</math>
- <math>k(la)=(kl)a</math>
- <math>k(ab)=(ka)b=a(kb)</math>
- <math> 1a=a</math>, где <math>1</math> — единица кольца <math>K</math>
Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.
Для <math>a</math>, <math>b\in A</math> коммутатор определён равенством <math>[a,b]=ab-ba</math>. <math>K</math>-алгебра называется коммутативной, если <math>[a,b]=0</math>.
Для <math>a, b, c\in A</math> ассоциатор определён равенством <math>(a,b,c)=(ab)c-a(bc)</math>. <math>K</math>-алгебра называется ассоциативной, если <math>(a,b,c)=0</math>.
Если существует элемент <math>e \in A</math> такой, что <math>ea = ae = a</math> для всех <math>a \in A</math>, то <math>e</math> называется единицей алгебры <math>A</math>, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.
Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия <math>k(ab)=(ka)b=a(kb)</math> требуют более слабое: <math>k(ab)=(ka)b</math>.
Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение <math>na</math> (где <math>n</math> — целое число) обычно, то есть как сумму <math>n</math> копий <math>a</math>. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.
Если вместо билинейного отображения <math>f</math> выбрать полилинейное отображение <math>g:A^n\rightarrow A</math> и определить произведение согласно правилу: <math>a_1 \dots a_n=g(a_1, \dots ,a_n)</math>, то полученная алгебраическая структура называется <math>n</math>-алгеброй.
Свободная алгебра
Шаблон:FalseredirectШаблон:Не путать
Если алгебра <math>A</math> над коммутативным кольцом <math>K</math> является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом <math>K</math>. Если алгебра <math>A</math> имеет конечный базис, то алгебра <math>A</math> называется конечномерной.
Если <math>K</math> является полем, то, по определению, <math>K</math>-алгебра является векторным пространством над <math>K</math>, а значит, имеет базис.
Базис конечномерной алгебры обычно обозначают <math>e_1, \dots, e_n</math>. Если алгебра имеет единицу <math>e</math>, то обычно единицу включают в состав базиса и полагают <math>e_0=e</math>. Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:
- <math>e_ie_j=C^k_{ij}e_k</math>.
А именно, если <math>a=a^ke_k</math>, <math>b=b^ke_k</math>, то произведение можно представить в виде:
- <math>ab=C^k_{ij}a^ib^je_k</math>.
Величины <math>C^k_{ij}\in K</math> называются структурными константами алгебры <math>A</math>.
Если алгебра коммутативна, то:
- <math>C^k_{ij}=C^k_{ji}</math>.
Если алгебра ассоциативна, то:
- <math>C^k_{ij}C^j_{ml}=C^j_{im}C^k_{jl}</math>.
Свойства
Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем <math>K</math> в качестве гомоморфного образа можно получить любую ассоциативно-коммутативную алгебру над <math>K</math>.
Отображение алгебры
Возможно рассматривать алгебру <math>A</math> над коммутативным кольцом <math>K</math> как модуль <math>A</math> над коммутативным кольцом <math>K</math>. Отображение <math>f:A\rightarrow B</math> алгебры <math>A</math> над коммутативным кольцом <math>K</math> в алгебру <math>B</math> над кольцом <math>K</math> называется линейным, если:
- <math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math>,
- <math>f(ka)=kf(a)</math>.
для любых <math>a</math>, <math>b\in A</math>, <math>k\in K</math>. Множество линейных отображений алгебры <math>A</math> в алгебру <math>B</math> обозначается символом <math>\mathcal L(A;B)</math>.
Линейное отображение <math>f:A\rightarrow B</math> алгебры <math>A</math> в алгебру <math>B</math> называется гомоморфизмом, если <math>f(ab)=f(a)f(b)</math> для любых <math>a, b\in A</math>, а также выполнено условие: если алгебры <math>A</math> и <math>B</math> имеют единицу, то:
- <math>f(e_A)=e_B</math>.
Множество гомоморфизмов алгебры <math>A</math> в алгебру <math>B</math> обозначается символом <math>H(A;B)</math>.
Очевидно, что <math>H(A;B)\subseteq\mathcal L(A;B)</math>.
Примеры
Общие:
- алгебры квадратных матриц
- алгебры многочленов
- алгебра формальных степенных рядов
Алгебры над полем вещественных чисел:
Литература
