Русская Википедия:Алгебра над полем
Шаблон:О Шаблон:Другие значения Алгебра над полем — это векторное пространство, снабжённое билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.
Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.
Определение
Пусть <math>A</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, снабжённое операцией <math>A\times A\to A</math>, называемой умножением. Тогда <math>A</math> является алгеброй над <math>K</math>, если для любых <math>x,y,z\in A, \; a,b\in K</math> выполняются следующие свойства:
- <math>(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z</math>
- <math>x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z</math>
- <math>(ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)</math>.
Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:
- Алгебра с единицей над полем <math>K</math> — это кольцо с единицей <math>A</math>, снабжённое гомоморфизмом колец с единицей <math>f:K\to A</math>, таким, что <math>f(K)</math> принадлежит центру кольца <math>A</math> (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что <math>A</math> является векторным пространством над <math>K</math> со следующей операцией умножения на скаляр <math>\alpha\in K</math>: <math>\alpha x=f(\alpha)\cdot x</math>.
Связанные определения
- Гомоморфизм <math>K</math>-алгебр — это <math>K</math>-линейное отображение, такое что <math>f(ab)=f(a)\cdot f(b)</math> для любых <math>a,b</math> из области определения.
- Подалгебра алгебры над полем <math>K</math> — это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй <math>U</math> линейной алгебры <math>R</math> над полем <math>P</math> называется её подмножество если оно является подкольцом кольца <math>R</math> и подпространством линейного пространства <math>R</math>[1].
- Элемент алгебры называется алгебраическим, если он содержится в конечномерной подалгебре.
- Алгебра называется алгебраической, если все её элементы алгебраические.[2]
- Левый идеал <math>K</math>-алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
- Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов <math>a\neq 0</math> и <math>b</math> уравнения <math>ax=b</math> и <math>ya=b</math> разрешимы[3]. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.
- Центр алгебры <math>A</math> — это множество элементов <math>a \in A</math>, таких что <math>x a = a x</math> для любого элемента <math>x \in A</math>.
Примеры
Ассоциативные алгебры
- Комплексные числа естественным образом являются двумерной алгеброй над вещественными числами.
- Кватернионы являются четырёхмерной алгеброй над вещественными числами.
- Предыдущие два примера являются полем и телом соответственно, и это не случайно: любая конечномерная алгебра над полем, не имеющая делителей нуля, является алгеброй с делением. Действительно, умножение на <math>x</math> слева является линейным преобразованием этой алгебры как векторного пространства, у этого преобразования нулевое ядро (так как <math>x</math> не является делителем нуля), следовательно, оно сюръективно; в частности, существует прообраз произвольного элемента <math>b</math>, то есть такой элемент <math>y</math>, что <math>xy</math> = <math>b</math>. Второе условие доказывается аналогично.
- Коммутативная (и бесконечномерная) алгебра многочленов <math>K[x]</math>.
- Алгебры функций, такие как <math>\R</math>-алгебра вещественнозначных непрерывных функций, определённых на интервале (0, 1), или <math>\Complex</math>-алгебра голоморфных функций, определённых на зафиксированном открытом подмножестве комплексной плоскости.
- Алгебры линейных операторов на гильбертовом пространстве.
Неассоциативные алгебры
- Алгебры Кэли, или октавы.
- Общие алгебры Ли.
- Йордановы алгебры.
- Альтернативные алгебры.
Структурные коэффициенты
Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем <math>K</math> достаточно указать её размерность <math>n</math> и <math>n^3</math> структурных коэффициентов <math>c_{i,j,k}</math>, являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:
- <math>\mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k}</math>
где <math>(e_1,e_2,\ldots e_n)</math> — некоторый базис <math>A</math>. Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.
Если <math>K</math> — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра <math>A</math> является свободным модулем.
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Скорняков Л. А. Элементы алгебры. - М., Наука, 1986. - с. 190
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Кузьмин Е. Н. Алгебра с делением Шаблон:Wayback
