Русская Википедия:Альтернатива Жиса — Маргулиса
Альтернатива Жиса — Маргулиса — теорема о строении подгрупп группы гомеоморфизмов окружности, являющаяся аналогом альтернативы Титса.
Введение
В 1987 году Шаблон:Нп5 и Влад Сержиеску показали, что группа гомеоморфизмов окружности <math>{\rm Homeo}(S^1)</math> не удовлетворяет альтернативе ТитсаШаблон:Sfn. А именно, группа Томпсона <math>F</math>, которая вкладывается в группу <math>{\rm Homeo}(S^1)</math>, не содержит ни разрешимых подгрупп конечного индекса, ни неабелевых свободных подгруппы.
В своём докладе на симпозиуме по динамическим системам, проходившем в Париже в июне 1998 года, Этьен Жис высказал предположение о том, что, тем не менее, в этом случае верен определённый аналог альтернативы Титса, который ему удалось доказать в аналитическом случае. В общем случае его гипотеза была доказана в 2000 году Григорием Александровичем МаргулисомШаблон:Sfn.
Формулировка
Для любой подгруппы <math>G \leqslant {\rm Homeo}(S^1)</math> выполняется хотя бы одно из следующих условий:
- на окружности <math>S^1</math> существует борелевская вероятностная мера, инвариантная относительно действия группы <math>G</math>;
- группа <math>G</math> содержит свободную подгруппу ранга два.
Во втором случае группа <math>G</math> также содержит свободные подгруппы всех конечных и счётного рангов, поскольку свободная группа ранга два содержит их.
Примеры
Если все элементы группы <math>G</math> являются изометриями (например, поворотами или отражениями), то мера Лебега на окружности <math>S^1</math> инвариантна относительно действия группы <math>G</math>.
Если действие группы <math>G</math> на окружности <math>S^1</math> имеет хотя бы одну конечную орбиту, то среднее Шаблон:Нп5, соответствующих точкам этой орбиты, является вероятностной мерой, инвариантной относительно <math>G</math>.
Для группы Томпсона <math>T</math> реализуется второе условие — она содержит неабелеву свободную подгруппу. Это связано с тем, что её действие на окружности минимально (см. далее).
Следствия
Примечательным следствием альтернативы Жиса — Маргулиса является следующая теорема о структуре минимальных действий групп на окружности.
Для любой подгруппы <math>G \leqslant {\rm Homeo}(S^1)</math>, действующей на окружности <math>S^1</math> минимально, выполняется в точности одно из следующих условий:
- группа <math>G</math> содержит абелеву подгруппу индекса не более два и действие <math>G</math> на <math>S^1</math> сопряжено действию изометриями, а точнее, существует такой сохраняющий ориентацию автогомеоморфизм <math>\varphi\colon S^1\to S^1</math>, что <math>\varphi G \varphi^{-1} \leqslant {\rm Isom}(S^1)</math>;
- группа <math>G</math> содержит свободную подгруппу ранга два.
В случае, если все гомеоморфизмы из <math>G</math> сохраняют ориентацию, то есть <math>G \leqslant {\rm Homeo}_+(S^1)</math>, в первом условии можно заменить <math>{\rm Isom}(S^1)</math> на группу вращений <math>{\rm Isom}_+(S^1)\cong {\rm SO}_2(\R)</math> и, тем самым, в этом случае группа <math>G</math> сама абелева.
Указанная теорема следующим образом выводится из альтернативы Жиса — МаргулисаШаблон:Sfn. В силу минимальности носитель вероятностной меры, инвариантной относительно данного действия группы, совпадает со всей окружностью. Любая борелевская вероятностная мера на окружности <math>S^1</math>, носитель которой совпадает со всей окружностью, может быть переведена некоторым сохраняющим ориентацию автогомеоморфизмом в меру ЛебергаШаблон:Sfn. Тем самым, действие, полученное сопряжением таким автогомеоморфизмом окружности, сохраняет меру Лебега, то есть является действием изометриями.
Доказательство
В своём доказательстве альтернативы Маргулис сначала устанавливает истинность указанного выше следствия, а затем выводит из него общий случай с помощью определённого рассуждения, принадлежащего Стивену Хёрдеру.
Доказательство частного случая альтернативы, соответствующего следствию, состоит в следующем.
Если действие группы <math>G</math> на окружности <math>S^1</math> равномерно непрерывно, то замыкание группы <math>G</math> в пространстве <math>{\rm Homeo}(S^1)</math>, рассматриваемом с компактно-открытой топологией, компактно. В этом случае искомая инвариантная мера на окружности может быть получена усреднением (вероятностной) меры Хаара на этом замыканииШаблон:Sfn.
Если минимальное действие <math>G</math> на окружности <math>S^1</math> не является равномерно непрерывным, то оказывается, что оно является проксимальным, то есть для любых двух точек <math>x,y\in S^1</math> существует такая бесконечная последовательность <math>\{g_i\}</math> элементов из <math>G</math>, что
- <math>\lim_{i \to \infty} g_i(x) = \lim_{i \to \infty} g_i(y)</math>.
Далее устанавливается, что к группе, действующей минимально и проксимально на окружности, применима Шаблон:Нп5, откуда следует, что она содержит свободную подгруппу ранга два.
Примечания
Литература
Ссылки
