Русская Википедия:Альтернатива Фредгольма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Приводятся различные формулировки альтернативы. В части источников под альтернативой Фредгольма понимается только первая теорема Фредгольма, утверждающая, что либо неоднородное уравнение имеет решение при любом свободном члене, либо сопряжённое (союзное) уравнение имеет нетривиальное решениеШаблон:Sfn. Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений является обобщением на бесконечномерный случай аналогичных теорем в конечномерном пространстве (для систем линейных алгебраических уравнений). Обобщена Ф. Риссом на линейные операторные уравнения со вполне непрерывными операторами в банаховых пространствахШаблон:Sfn.

Конечномерное пространство

Шаблон:Рамка Либо уравнение <math>\mathcal Az = u</math> имеет решение при любой правой части <math>u \in W</math>, либо сопряжённое к нему уравнение <math>\mathcal A^*w=0</math> имеет нетривиальное решение Шаблон:Конец рамки

Доказательство

Способ 1

Пусть <math>r = \operatorname{rg} \mathcal A, ~m = \operatorname{dim} W</math>. Возможны два случая: либо <math>r=m</math>, либо <math>r<m</math>. Условие <math>r=m</math> равносильно условию <math>\operatorname{im} \mathcal A = W</math>, которое означает, что уравнение <math>\mathcal Az = u</math> имеет решение при любом <math>u \in W</math>. При этом так как <math>\operatorname{rg} \mathcal A = \operatorname{rg} \mathcal A^*</math>, то <math>\operatorname{ker} \mathcal A^* = 0</math>, и значит, уравнение <math>\mathcal A^*w=0</math> не имеет ненулевого решения. Условие <math>r<m</math> равносильно условию <math>\operatorname{dim} (\operatorname{ker} \mathcal A^*) > 0</math>, которое означает существование ненулевого вектора <math>w \in \operatorname{ker} \mathcal A^*</math>, то есть ненулевого решения <math>\mathcal A^*w=0</math>. При этом <math>\operatorname{im} \mathcal A \ne W</math> и уравнение <math>\mathcal Az = u</math> имеет решение не для любого <math>u \in W</math>.

Способ 2

1. Пусть система (1), то есть <math>A \cdot X = B</math>, имеет решение при любом <math>B</math>. В этом случае <math>\operatorname{rg} A = m</math>, так как иначе при некотором <math>B</math> <math>\operatorname{rg} A</math> оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера — Капелли. Так как <math>\operatorname{rg} A^T= \operatorname{rg} A</math>, то в этих условиях <math>\operatorname{rg} A^T = m</math>, то есть равен числу неизвестных в системе (2) и эта система имеет только тривиальное решение.
2. Пусть теперь система <math>A \cdot X = B</math> при некотором <math>B</math> несовместна. Следовательно <math>\operatorname{rg}A<m</math> , значит и <math>\operatorname{rg}A^T<m</math>, то есть ранг матрицы системы (2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое решение.

В доказательстве используются обозначения: <math>\operatorname{rg} A</math> — ранг матрицы <math>A</math>, <math>\operatorname{dim} W</math> — размерность пространства <math>W</math>, <math>\operatorname{im} \mathcal A</math> — образ оператора <math>\mathcal A</math>, <math> \operatorname{def} \mathcal A </math> — дефект оператора <math>\mathcal A </math>, <math> \operatorname{ker} \mathcal A</math> — ядро оператора <math>\mathcal A</math>, <math>A^T</math> — транспонированная матрица.

Альтернатива Фредгольма для линейного оператора <math>\mathcal A</math>, действующего в одном пространстве <math>V</math>, означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любом <math>u \in V</math>, либо сопряжённое к нему однородное уравнение имеет нетривиальное решениеШаблон:Sfn.

Интегральные уравнения

Формулировки

Альтернатива Фредгольма формулируется для интегрального уравнения Фредгольма

<math>\varphi(x) = \lambda \int\limits_0^a K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x) \qquad (1)</math>

с непрерывным ядром <math>K(x, y)</math> и союзного к нему уравнения

<math>\psi(x) = \bar \lambda \int\limits_0^a K^*(x, y) \psi(y) \, dy + g(x), \qquad (1')</math>

<math>K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}</math>. Однородное уравнение − это уравнение с нулевым свободным членом f или g.

Формулировка 1. Если интегральное уравнение (1) с непрерывным ядром разрешимо в <math>C[0, a]</math> при любом свободном члене <math>f \in C[0, a]</math>, то и союзное к нему уравнение (1') разрешимо в <math>C[0, a]</math> при любом свободном члене <math> g \in C[0, a]</math>, причем эти решения единственны (первая теорема Фредгольма).

Если интегральное уравнение (1) разрешимо в C[0, a] не при любом свободном члене <math>f</math>, то:

1) однородные уравнения (1) и (1') имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольма);

2) для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член <math>f</math> был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (1') (третья теорема Фредгольма)Шаблон:Sfn.

Формулировка 2. Если однородное интегральное уравнение Фредгольма имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение. Если же однородное уравнение имеет некоторое нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений в зависимости от заданной функции <math>f(x)</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Идея доказательства

Вырожденное ядро

Интегральное уравнение Фредгольма (1) с вырожденным ядром вида

<math>K(x, y) = \sum_{i = 1}^N f_i(x) g_i(y)</math>

можно переписать в виде

<math> \varphi(x) = \lambda \sum\limits_{i = 1}^N c_i f_i(x) + f(x), </math>

где

<math> c_i = \int\limits_0^a \varphi(y) g_i(y) \, dy </math>

— неизвестные числа. Путём умножения полученного равенства на <math>g_k(x)</math> и интегрирования по отрезку <math>[0, a]</math> уравнение с вырожденным ядром сводится к эквивалентной ему системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных <math>(c_1, c_2, \dots, c_N)</math>:

<math> c_k = \lambda \sum_{i = 1}^N \alpha_{ki} c_i + a_k, </math>

где

<math> \alpha_{ki} = \int\limits_0^a g_k(x) f_i(x) \, dx, \quad a_k = \int\limits_0^a g_k(x) f(x) \, dx. </math>.

Поэтому альтернатива Фредгольма непосредственно следует из конечномерного случаяШаблон:Sfn.

Произвольное непрерывное ядро

В общем случае доказательство альтернативы Фредгольма для интегральных уравнений основано на представлении произвольного непрерывного ядра в виде

<math>K(x, y) = P(x, y) + Q(x, y),</math>

где <math>P(x, y)</math> — вырожденное ядро (многочлен) и <math>Q(x, y)</math> — малое непрерывное ядро, <math>|Q(x, y)| < \varepsilon, \, 0 \le x \le a</math>. Тогда уравнение (1) принимает вид

<math> \varphi = \lambda P \varphi + \lambda Q \varphi + f, </math>

где <math>P</math> и <math>Q</math> — интегральные операторы с ядрами <math>P(x, y)</math> и <math>Q(x, y)</math> соответственно.

Введем неизвестную функцию <math>\Phi(x)</math> по формуле

<math> \Phi = \varphi - \lambda Q \varphi</math>.

При <math>|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}</math> функция <math>\varphi</math> однозначно выражается через <math>\Phi</math> по формуле

<math> \varphi = (I - \lambda Q)^{-1} \Phi = (I + \lambda R) \Phi, </math>

где <math>I</math> — единичный оператор, <math>R</math> — интегральный оператор с ядром <math>R(x, y, \lambda)</math> — резольвентой ядра <math>Q(x, y)</math>. Тогда исходное уравнение принимает вид

<math> \Phi = \lambda T \Phi + f, </math>

где

<math> T = P + \lambda P R </math>

— интегральный оператор с вырожденным ядром

<math> T(x, y, \lambda) = P(x, y) + \lambda \int\limits_0^a P(x, \xi) R(\xi, y, \lambda) d\xi, </math>

аналитическим по <math>\lambda</math> в круге <math>|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}</math>. Аналогично союзное интегральное уравнение (1') преобразуется к виду

<math> \psi = \bar \lambda T^* \psi + g_1. </math>

Таким образом, уравнения (1) и (1') эквивалентны в круге <math>|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}</math> уравнениям с вырожденными ядрами, что позволяет вывести альтернативу Фредгольма для общего случаяШаблон:Sfn.

Следствия

• Множество характеристических чисел непрерывного ядра не имеет конечных предельных точек и, значит, не более чем счётно. Действительно, в каждом круге <math>|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}</math> характеристические числа ядра <math>K(x, y)</math> совпадают с характеристическими числами вырожденного ядра, которые являются нулями аналитической функции.
• Каждое характеристическое число имеет конечную кратность (число линейно независимых собственных функций). Следует из второй теоремы Фредгольма. Характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

<math> |\lambda_1| \le |\lambda_2| \le \dots, </math>

повторяя в этой последовательности <math>\lambda_k</math> столько раз, какова его кратность.

• Если <math>\lambda_0</math> — характеристическое число ядра <math>K(x, y)</math>, то <math> \bar \lambda_0</math> — характеристическое число ядра <math>K^*(x, y)</math>, причем они имеют одинаковую кратность.
• Собственные функции <math>\varphi_k</math> и <math>\psi_i</math> ядер <math>K(x, y)</math> и <math>K^*(x, y)</math>, отвечающие характеристическим числам <math>\lambda_k</math> и <math>\bar \lambda_i</math> соответственно, причем <math>\lambda_k \ne \lambda_i</math>, ортогональны: <math>(\varphi_k, \psi_i) = 0</math>.

Используя данные свойства, можно переформулировать альтернативу Фредгольма в терминах характеристических чисел и собственных функций:

• Если <math>\lambda \ne \lambda_k, \, k = 1, 2, \dots</math>, то интегральные уравнения (1) и (1') однозначно разрешимы при любых свободных членах.
• Если <math> \lambda = \lambda_k</math>, то однородные уравнения

<math> \varphi = \lambda_k K \varphi, \quad \psi = \bar \lambda_k K^* \psi, </math>

имеют одинаковое (конечное) число <math>r_k \ge 1</math> линейно независимых решений — собственных функций <math>\varphi_k, \varphi_{k + 1}, \dots, \varphi_{k + r_k - 1}</math> ядра <math>K(x, y)</math> и собственных функций <math>\psi_k, \psi_{k + 1}, \dots, \psi_{r_k - 1}</math> ядра <math>K^*(x, y)</math>.

• Если <math> \lambda = \lambda_k</math>, то для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы

<math> (f, \psi_{k + i}) = 0, \quad i = 0, 1, r_k - 1.</math>Шаблон:Sfn

Банахово пространство

Даны уравнения

<math>A x - x = y, \quad (2) </math>

<math>A^* f - f = g, \quad (2') </math>

где <math>A</math> — вполне непрерывный оператор, действующий в банаховом пространстве <math>E</math>, а <math>A^*</math> — сопряжённый оператор, действующий в сопряжённом пространстве <math>E^*</math>. Тогда либо уравнения (2) и (2') разрешимы при любых правых частях, и в этом случае однородные уравнения

<math>A x - x = 0</math>

<math>A^* f - f = 0</math>

имеют лишь нулевые решения, либо однородные уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений

<math>x_1, x_2, \dots, x_n; \quad f_1, f_2, \dots, f_n;</math>

в этом случае, чтобы уравнение (2) (соответственно (2')) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы

<math> f_i(y) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, n</math>

(соответственно <math>g(x_i) = 0, \, i = 1, 2, \dots, n</math>)Шаблон:Sfn.

Применение к решению краевых задач для эллиптических уравнений

Метод Неймана решения задачи Дирихле

<math> \Delta u(x) = 0, \quad x \in G, \quad u(s) = g(s), \quad s \in C </math>

состоит в том, что решение <math>u</math> ищется в виде

<math> u(x) = \int\limits_C \mu(t) \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt}} dt, </math>

то есть в виде потенциала двойного слоя. Здесь <math>G</math> — плоская область, <math>C</math> — ограничивающая её замкнутая кривая, обладающая непрерывной кривизной, <math> r_{xt} </math> — расстояние от точки <math>x</math> до точки <math>t</math> на контуре <math>S</math>, <math>n_t</math> — внутренняя нормаль к <math>C</math> в точке <math>t</math>. Функция <math>\mu</math> должна удовлетворять интегральному уравнению

<math> \frac{1}{\pi} g(s) = \mu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt </math>

с непрерывным ядром

<math> K(s, t) = \frac{1}{\pi} \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt}} dt. </math>

Согласно альтернативе Фредгольма, либо данное неоднородное уравнение имеет решение <math>\mu(s)</math> при любом выборе непрерывной функции <math>g(s)</math>, либо однородное уравнение

<math> \nu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt = 0 </math>

допускает ненулевое решение <math>\nu(s)</math>. Последнее невозможно, это можно показать при помощи принципа максимума для гармонических функций. Следовательно, внутренняя задача Дирихле имеет решение при любых непрерывных граничных значениях <math>g(s)</math>. Аналогичные результаты получены для внешней задачи Дирихле, а также для задачи НейманаШаблон:Sfn.

См. также

• Интегральное уравнение
• Теория Фредгольма
• Компактный оператор
• Ядро интегрального уравнения

Литература

Конечномерное пространство

• Шаблон:Книга

Интегральные уравнения

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Банахово пространство

• Шаблон:Книга