Русская Википедия:Альтернативная матрица

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Не путать Шаблон:TOC Right Альтернати́вная ма́трица (Шаблон:Lang-en) — в линейной алгебре матрица специального вида размерности <math>m \times n</math>, задаваемая с помощью <math>m</math> элементов <math>\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_m</math> и <math>n</math> функций <math>f_1, f_2, \dots f_n</math> так, что каждый элемент матрицы <math>M_{i,j} = f_j(\alpha_i)</math> или, в развёрнутом виде:

<math>M=\begin{bmatrix}

f_1(\alpha_1) & f_2(\alpha_1) & \dots & f_n(\alpha_1)\\ f_1(\alpha_2) & f_2(\alpha_2) & \dots & f_n(\alpha_2)\\ f_1(\alpha_3) & f_2(\alpha_3) & \dots & f_n(\alpha_3)\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ f_1(\alpha_m) & f_2(\alpha_m) & \dots & f_n(\alpha_m)\\ \end{bmatrix}</math>

Иногда альтернативная матрица определяется в траспонированном виде.

Примеры и использование альтернативных матриц

Распространённый и часто встречающийся частный случай альтернативной матрицы — матрица Вандермонда. Альтернативная матрица принимает этот вид при <math>f_i(\alpha)=\alpha^{i-1}</math>. (Некоторые авторы называют именно матрицу Вандермонда альтернативной.) Более редкий частный случай альтернативной матрицы — Шаблон:Не переведено 3, в которой <math>f_i(\alpha)=\alpha^{q^{i-1}}</math>.

В более общем виде альтернативные матрицы применяются в теории кодирования.

Свойства альтернативных матриц

Если исходная альтернативная матрица квадратная и если все функции <math>f_j(x)</math> полиномиальны, то при условии <math>\alpha_i = \alpha_j</math> для всех <math>i < j</math> детерминант альтернативной матрицы равен нулю, и таким образом, <math>(\alpha_j - \alpha_i)</math> является делителем детерминанта такой альтернативной матрицы при любых <math>i, j</math>, удовлетворяющим условию <math>1 \leq i < j \leq n</math>. Следовательно, детерминант Вандермонда

<math>

V = \begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \dots & \alpha_1^{n-1} \\ 1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-1} \\ 1 & \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-1} \\ \end{bmatrix} </math> равный <math>\prod_{i < j} (\alpha_j - \alpha_i)</math> также является делителем детерминантов таких альтернативных матриц. Отношение <math>\frac{\det M}{\det V}</math> носит специальное название «биальтернант».

Заметим также, что в случае, когда <math>f_j(x) = x^{m_j}</math>, мы получаем классическое определение многочленов Шура.

См. также

• Матрица Вандермонда
• Список матриц

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга