Русская Википедия:Альтернативность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Альтернативность (бинарная ассоциативность) — свойство бинарной операции <math>\circ</math>, являющееся ослабленным вариантом ассоциативности: для любых элементов <math>x,\;y</math>

• <math>\ (x \circ y) \circ y=x \circ (y \circ y)</math> — правая альтернативность,
• <math>\ y \circ (y \circ x)=(y \circ y) \circ x</math> — левая альтернативность.

Всякая ассоциативная операция является альтернативной; обратное в общем случае неверно: например, умножение октонионов альтернативно, но не ассоциативно.

Во всякой магме, пара элементов которой порождает ассоциативную подмагму, бинарная операция альтернативна. Обратное в общем случае неверно, но в случае неассоциативных колец из альтернативности кольца следует ассоциативность порождённых каждой парой элементов подколец (теорема Артина).

Исторически первый пример альтернативной структуры — числа Кэли, образующие альтернативное тело; важные приложения в физике имеются у альтернативных алгебр.

Другой вариант ослабления ассоциативности — степенная ассоциативность. Иногда это свойство считается более слабым, чем альтернативность, поскольку при некоторых дополнительных условиях из альтернативности следует степенная ассоциативность, но в общем случае это не так: например, для магмы из элементов <math>e_\star, e_1, e_2 \dots</math> с альтернативным умножением, введённым следующим образом:

• <math>e_i \circ e_j = e_{i+j} </math> кроме <math>e_3 \circ e_3 = e_\star</math>,
• <math>e_\star \circ e_i = e_i \circ e_\star = e_{i+6} </math>,
• <math>e_\star \circ e_\star = e_{12} </math>

степенная ассоциативность не выполняется:

<math>((e_1 \circ e_1) \circ e_1) \circ ((e_1 \circ e_1) \circ e_1) = e_3 \circ e_3 = e_\star \neq e_6 = e_1^{6}</math>.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Из