Русская Википедия:Аменабельная группа

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Аменабельная группа — локально компактная топологическая группа G, в которой возможно ввести операцию усреднения на ограниченных функциях на этой группе, инвариантную относительно умножения на любой элемент группы.

История

Понятие было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый»). Мотивировкой послужил парадокс удвоения шара.

Изначальное определение было дано в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры на подмножествах группы G.

В 1949 году Махлон Дэй ввёл в употребление термин аменабельный (от английского «послушный»), которое закрепилось[1].

Определение для локально компактных групп

Рассмотрим локально компактную хаусдорфову группу G с её мерой Хаара <math>\mu</math>. Рассмотрим банахово пространство в L∞(G) ограниченных измеримых функций.

Определение 1. Линейный функционал Λ в Hom(L∞(G), R) называется усреднением, если Λ имеет норму 1 и неотрицателен, то есть f ≥ 0 почти везде влечёт Λ(f) ≥ 0.

Определение 2. Усреднение Λ в Hom(L∞(G), R) называется левоинвариантным (соответственно, правоинвариантным), если Λ(g·f) = Λ(f) для всех g в G, и f в L∞(G) по отношению к левому (соответственно, правому) сдвигу g·f(x) = f(g−1·х)(соответственно, f·g(x) = f(х·g−1)).

Определение 3. Локально компактная хаусдорфова группа называется аменабельной, если она допускает левoинвариантнoe (или правоинвариантное) усреднение.

Эквивалентные условия

  • Наличие фиксированной точки. Любое действие группы аффинными преобразованиями на компактном выпуклом подмножестве сепарабельного локально выпуклого топологического векторного пространства имеет неподвижную точку.Шаблон:Нет АИ
  • Критерий Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций φn с интегралом 1 на G такая, что g·φn − φn стремится к 0 в слабой топологии на L1(G).
  • Критерий Рейтера. Для любого конечного (или компактного) подмножества F в G существует интегрируемая неотрицательная функция φ с интегралом 1 такая, что g·φ − φ является сколь угодно малой в L1(G) для любого g из F.
  • Критерий Гликсберга — Райтера. Для любой f в L1(G), расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в L1(G) левых сдвигов f равно |∫f|.
  • Критерий Фёлнера. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F в G существует измеримое подмножество U в G с конечной положительной мерой Хаара такое, что значение <math>\mu(F\cdot U)/\mu(U)</math> сколь угодно близко к 1.
  • Критерий Кестена. Левая свертка на L2(G) с симметричной вероятностной мерой на G дает оператор оператор нормы 1.
  • Гомологический критерий Джонсона. Банахова алгебра А = L1(G) аменабельна как Банахова алгебра.

Случай дискретных групп

Определение аменабельности проще в случае дискретной группы[2], то есть когда группа оснащена дискретной топологией.

Определение. Дискретная группа G аменабельна, если существует левоинвариантная конечно-аддитивная вероятностная мера μ на G.

Это определение эквивалентно определению в терминах L∞(G), данному выше.

Мера μ на G позволяет определить интеграл ограниченных функций на G. Для ограниченной функции f: G → R, интеграл

<math>\int\limits_G fd\mu</math>

определяется как в случае интеграла Лебега. (Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега не выполняются, так как наша мера только конечно-аддитивна.)

Если группа допускает левоинвариантную меру, то она также допускает би-инвариантную меру. Действительно, по левоинвариантной мере μ строится правоинвариантная мера μ−(A) = μ(A−1). Эти две меры определяют би-инвариантную меру следующим образом:

<math>\nu(A) = \int_{g\in G}\mu \left (Ag^{-1} \right ) \, d\mu^-.</math>

Эквивалентные условия для аменабельных групп также становятся проще в случае счетной дискретной группы Γ . Для такой группы следующие условия эквивалентны:[3]

  • Γ аменабельна.
  • Существует левоинвариантный непрерывный функционал μ на ℓ∞(Γ) с μ(1) = 1.
  • Существует множество вероятностных мер μn на Γ таких, что ||g · μn — μn||1 стремится к 0 для каждого g в Γ.
  • Существуют единичные векторы хn в ℓ2(Γ) такие, что ||g · хn − хn||2 стремится к 0 для каждого g в Γ.
  • Существуют конечные подмножества Sn из Γ такие, что |g · Sn Δ Sn| / |Sn| стремится к 0 для каждого g в Γ.
  • Если μ является симметричной вероятностной мерой на Γ с системой образующих как носителем, то свёртка по μ определяет оператор нормы на 1 в ℓ2(Γ).
  • Если Γ действует изометриями на сепарабельном банаховом пространстве Е, и f в ℓ∞(Γ, Е*) — ограниченный 1-коцикл, то есть f(g·h) = f(g) +g·f(h), тогда f — 1-кограница, то есть f(g) = g·φ − φ для некоторого φ в Е*.

Свойства

  • Замкнутая подгруппа аменабельной группы аменабельна.
  • Факторгруппа аменабельной группы аменабельна.
  • Расширение аменабельной группы аменабельно.
    • В частности, конечное прямое произведение аменабельных групп аменабельно. Тем не менее, бесконечное произведения не обязаны быть аменабельными.
  • Прямые пределы аменабельных групп аменабельны.
    • В частности, если группа может быть записана в виде объединения возрастающей последовательности аменабельных подгрупп, то она аменабельна.

Примеры

Примеры выше называются элементарными аменабельными группами. Они строятся из конечных и абелевых групп с помощью стандартного набора операций. Существование неэлементарных аменабельных групп гарантируется следующим примером.

Контрпримеры

  • Счётная дискретная группа, содержащая свободную подгруппу с двумя образующими, неаменабельна.
    • Обратное утверждение является гипотезой фон Неймана, она была опровергнута Ольшанским в 1980 году с помощью его монстров Тарского.
    • Для конечно порожденных линейных групп гипотеза фон Неймана верна по теореме Титса[5]: в каждой подгруппе GL(n, k) над полем k либо есть нормальная разрешимая подгруппа конечного индекса (и, следовательно, группа аменабельна), либо содержится свободная подгруппа с двумя образующими.

Связанные свойства

  • Шаблон:Iw представляет собой, неформально говоря, полную противоположность аменабельности, за исключением случая компактных (в дискретном случае — конечных) групп[6].
  • Шаблон:Iw обобщают одновременно аменабельные и остаточно конечные группы; неформально говоря, софическая группа локально хорошо приближается конечной группой, ср. с критерием Фёлнера. На 2021 год неизвестно, включает ли этот класс все дискретные счётные группы[7][8].

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Публикация
  2. ↑ См. Greenleaf 1969, Pier 1984, Takesaki 2002a, Takesaki 2002b.
  3. ↑ Pier 1984
  4. ↑ Шаблон:Публикация
  5. ↑ Tits, J. (1972), «Free subgroups in linear groups», J. Algebra 20 (2): 250—270, doi:10.1016/0021-8693(72)90058-0
  6. ↑ Шаблон:Публикация
  7. ↑ Шаблон:Публикация
  8. ↑ Шаблон:Публикация
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Аменабельная_группа&oldid=8974408