Русская Википедия:Аналитическая теория чисел
Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.
Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида
- <math>a_1 x_1+...+a_n x_n=N,</math>
где <math>a_1,...,a_n</math> — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при <math>|z|<1</math>)
- <math>F_i(z)=\sum^\infty_{k=0}{(z^{a_i})^k}</math>
и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом
- <math>F(z)=\sum^\infty_{N=0}l(N) z^N,</math>
где <math>l(N)</math> — число решений изучаемого уравнения.[1]
В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида
- <math>S(a)=\sum^{p}_{n=1} e^{2\pi i an^2/p},</math>
которые положили начало использованию тригонометрических сумм[1]. Основы методов применения тригонометрических сумм к анализу уравнений в целых и простых числах были разработаны Харди, Литтлвудом и Виноградовым.
Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:
- <math>\Pi_p \left ( 1-\frac{1}{p^s} \right ) ^{-1}=\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^s}</math>,
которое стало основанием для теорий дзета-функций[1]. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения <math>\zeta(s) = 0</math> лежат на так называемой критической прямой <math>\mathrm{Re}\,s = \frac{1}{2}</math>, где <math>\zeta</math> — дзета-функция Римана.
Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что
- <math>\Pi_p \left (1-\frac{\chi (p)}{p^s} \right )^{-1}=\sum^\infty_{n=1} \frac{\chi (n)}{n^s}</math>,
при этом функция <math>\chi(p)</math>, получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций[1].
Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходящих <math>X</math>, обозначенное как <math>\pi (X)</math>, стремится к бесконечности по следующему закону[1]:
- <math>a \frac{X}{\ln(X)} < \pi(X) < b \frac{X}{\ln(X)}</math>, где <math>a>1/2 \ln 2</math> и <math>b<2 \ln 2</math>.
Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.
См. также
Примечания
Литература
