Русская Википедия:Аналитический сигнал

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Аналитический сигнал (аналитическое представление сигнала) — используемое в теории обработки сигналов математическое представление аналогового сигнала в виде комплекснозначной аналитической функции времени. Обычный, действительный сигнал x является при этом действительной частью аналитического представления x_a.

Идея преобразования — оставить лишь неотрицательные частоты в спектре сигнала, достаточные для его восстановления в силу эрмитовой симметрии: <math>X(-f) = \overline{X(f)}</math>.

Аналитический сигнал является обобщением понятия комплексной амплитуды на случай сигналов, отличных от гармонического.

Определение

Пусть x(t) — представляющая сигнал действительнозначная функция, преобразование Фурье (т.е. спектр) которой обозначим X(f),, а u(f) — функция Хевисайда.

Тогда:

<math>

\begin{align} X_\mathrm{a}(f) & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{cases} \ \ 2 X(f), & \mbox{for } f > 0, \\ \ \ X(f), & \mbox{for } f = 0, \\ \ \ 0, & \mbox{for } f < 0, \end{cases} \\ &= X(f)\cdot 2 \mathrm{u}(f) \end{align} </math> содержит лишь неотрицательную часть спектра X(f).

Подвергая полученный спектр <math>X_\mathrm{a}(f)</math> обратному преобразованию Фурье, мы и получаем аналитический сигнал:

<math>

\begin{align} x_\mathrm{a}(t) &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{X(f)\}}_{x(t)} \ * \ \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{2 \mathrm{u}(f)\}}_{\delta(t) + j\cdot {1 \over \pi t}} \quad \quad \mbox{ } \\ &= x(t) + j\underbrace{\left[x(t) * {1 \over \pi t}\right]}_{\hat{x}(t)}, \end{align} </math>

где * — свёртка, <math>\hat{x}(t)</math> — преобразование Гильберта функции <math>x(t),</math> а <math>j</math> означает мнимую единицу.

Примеры

Пусть  <math>x(t) = \cos(\omega_0 t)</math> для некоторой частоты <math>\omega_0 > 0</math>

Тогда:

<math>\hat{x}(t) = \cos(\omega_0 t -\begin{matrix} \frac{\pi }{2} \end{matrix}) = \sin(\omega_0 t)</math>

<math>x_\mathrm{a}(t) = \cos(\omega_0 t) + j\cdot \sin(\omega_0 t) = e^{j \omega_0 t}</math>

Это комплексная функция с возрастающим по времени аргументом.

Практические применения

Устранение «отрицательных частот» используется в аналоговой передаче звука (АМ-радиовещание, аналоговая телефонная связь) для экономии полосы частот.

См. также

• Комплексное сопротивление

Внешние ссылки

• Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал.
• Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал.