Русская Википедия:Аналитичность голоморфных функций
В комплексном анализе функция <math>f</math> комплексной переменной называется
- голоморфной в точке <math>a</math>, если она дифференцируема в некоторой открытой окрестности
- аналитической в точке <math display="inline">a</math>, если существует некоторая окрестность точки <math>a</math>, в которой <math>f</math> совпадает со сходящимся степенным рядом
- <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n</math>
Одним из самых важных результатов комплексного анализа является теорема о том, что голоморфные функции являются аналитическими. Следствия этой теоремы включают, среди прочих, следующие результаты:
- теорема единственности: две голоморфные функции, значения которых совпадают в каждой точке множества <math>S</math> (у которого имеется предельная точка внутри пересечения областей определения функций), также совпадают в любом открытом связном подмножестве их областей определения, которое содержит <math>S</math>.
- так как степенной ряд бесконечно дифференцируем, соответствующая ему голоморфная функция тоже является бесконечно дифференцируемой (в отличие от случая дифференцируемой действительной функции).
- радиус сходимости всегда совпадает с расстоянием от центра а до ближайшей сингулярной точки. Если таковых не имеется (т. е. если <math>f</math> – целая функция), то радиус сходимости равен бесконечности.
- целая голоморфная функция не может быть финитной, т.е. не может иметь в качестве (компактного) носителя связное открытое подмножество комплексной плоскости.
Доказательство
Доказательство, впервые предложенное Коши, основано на интегральной формуле Коши и на разложении в степенной ряд выражения
- <math>\dfrac 1 {w-z} </math>
Пусть <math>D</math> обозначает открытый диск с центром в точке <math>a</math>. Предположим, что <math>f</math> является дифференцируемой всюду в открытой окрестности замыкания <math>D</math>. Пусть <math>C</math> обозначает положительно ориентированную окружность, которая является границей <math>D</math>, a <math>z</math> – точку в <math>D</math>. Начиная с интегральной формулы Коши, можно записать
- <math>\begin{align}f(z) &{}= {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over w-z}\,\mathrm{d}w \\[10pt]
&{}= {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)-(z-a)} \,\mathrm{d}w \\[10pt] &{}={1 \over 2\pi i}\int_C {1 \over w-a}\cdot{1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm{d}w \\[10pt] &{}={1 \over 2\pi i}\int_C {1 \over w-a}\cdot{\sum_{n=0}^\infty\left({z-a \over w-a}\right)^n} f(w)\,\mathrm{d}w \\[10pt] &{}=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2\pi i}\int_C {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1}} f(w)\,\mathrm{d}w.\end{align}</math> Перестановка операций интегрирования и бесконечной суммы справедлива, так как выражение ограничено некой положительной константой <math>M</math> для любых <math>w</math> на <math>C</math>, в то время как неравенство
<math>\left|\frac{z-a}{w-a}\right|\leq r < 1</math>
также справедливо на <math>C</math> при некотором положительном <math>r</math>. Таким образом,
<math>\left| {(z-a)^n \over (w-a)^{n+1} }f(w) \right| \le Mr^n</math>
на <math>C</math>. Ряд сходится равномерно на <math>C</math> по признаку сходимости Вейерштрасса, а значит знаки суммы и интеграла могут быть переставлены.
Так как выражение <math>(z-a)^n</math> не зависит от переменной, его можно вынести за знак интеграла:
- <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty (z-a)^n {1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}} \,\mathrm{d}w</math>.
Таким образом, разложение функции <math>f</math> приобретает искомую форму степенного ряда от <math>z</math>:
- <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n</math>
с коэффициентами
- <math>c_n={1 \over 2\pi i}\int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}} \,\mathrm{d}w.</math>
Примечания
- Так как степенные ряды можно дифференцировать почленно, приведенные выше рассуждения можно применить в обратном направлении к разложению в ряд выражения
- <math> \frac 1 {(w-z)^{n+1}}</math>,
- получив, таким образом,
<math>f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \int_C {f(w) \over (w-a)^{n+1}}\, dw.</math>
- Это интегральная формула Коши для производных. Таким образом, приведенный выше степенной ряд является рядом Тейлора функции <math>f</math>.
- Доказательство справедливо только если точка <math>z</math> находится ближе к центру <math>a</math> диска <math>D</math>, чем к любой сингулярной точке <math>f</math>. Следовательно, радиус сходимости ряда Тейлора не может быть меньше, чем расстояние от <math>a</math> до ближайшей особой точки функции. (Очевидно, что радиус также не может быть больше этого расстояния, поскольку степенной ряд не имеет особых точек в пределах их радиусов сходимости.)
- Особый случай тож теоремы из предыдущего замечания вытекает особый случай теоремы о единственности голоморфной функции. Если две голоморфные функции совпадают на (возможно, очень небольшой) открытой окрестности <math>U</math> точки <math>a</math>, то они совпадают и на открытом диске <math>B_{d}(a)</math>, где <math>d</math> – расстояние от <math>a</math> до ближайшей особой точки.
