Русская Википедия:Антиголоморфная функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Антиголоморфные функции (также называемые антианалитическими) — семейство функций, тесно связанных с голоморфными функциями.

Определение

Функция <math>f</math>, определённая на открытом подмножестве <math>D</math> комплексной плоскости, называется антиголоморфной, если её производная <math>\frac{d f}{d \bar z}</math> по <math>\bar z</math> существует во всех точках этого множества. Это равносильно условию

<math>\frac{\partial f}{\partial z} = 0</math>

которым можно придать вид, аналогичный условиям Коши — Римана:

<math>\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{\partial v}{\partial y}</math>

<math>\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}</math>

где

<math>f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y), \quad z = x + i y, \quad \{ x,y,u,v \} \sub \mathbb R</math>

Функция, зависящая одновременно от <math>z</math> и <math>\bar z</math>, не является ни голоморфной, ни антиголоморфной.

Свойства

• <math>f(z)</math> голоморфна в <math>D</math> тогда и только тогда, когда <math>f(\bar z)</math> антиголоморфна в <math>\bar D = \{\bar z | z \in D\}</math>.
• функция антиголоморфна тогда и только тогда, когда её можно разложить по степеням <math>\bar z</math> в окрестности каждой точки её области определения.
• <math>f(z)</math> голоморфна в <math>D</math> тогда и только тогда, когда <math>\bar f(z)</math> антиголоморфна в <math>D</math>.
• если функция одновременно голоморфна и антиголоморфна, то она постоянна на любой связной компоненте её области определения.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука. — 1969, 577 стр.