Русская Википедия:Антиплоский сдвиг

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Антиплоский сдвиг или антиплоская деформация — частный случай напряжённо-деформированного состояния упругого тела. Такое состояние возникает когда поле перемещений является нулевым в рассматриваемой плоскости, но ненулевым в направлении, перпендикулярном к плоскости. В случае малых деформаций тензор деформаций может быть записан в виде

<math>\underline{\underline{\varepsilon}} = \begin{bmatrix}

0 & 0 & \varepsilon_{13} \\ 0 & 0 & \varepsilon_{23}\\

\varepsilon_{13}    &    \varepsilon_{23}      & 0\end{bmatrix}</math>

если рассматривается плоскость <math>Ox_1x_2</math> и вектор перемещений сонаправлен с осью <math>Ox_3</math> .

Перемещения

В состоянии антиплоского сдвига поле перемещений (в прямоугольных декартовых координатах) имеет вид:

<math>

  u_1 = u_2 = 0 ~;~~ u_3 = u_3(x_1, x_2)
</math>

где <math>u_i,~ i=1,2,3</math> перемещения в направлениях осей <math>x_1, x_2, x_3</math>.

Напряжения

Для изотропного, линейно упругого материала, тензор напряжений, вытекающий из состояния антиплоского сдвига, может быть представлен в виде

<math>

  \boldsymbol{\sigma} \equiv
    \begin{bmatrix}
      \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
      \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
      \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33}
    \end{bmatrix} =
    \begin{bmatrix} 0 & 0 & \mu~\cfrac{\partial u_3}{\partial x_1} \\
        0 & 0 & \mu~\cfrac{\partial u_3}{\partial x_2} \\
        \mu~\cfrac{\partial u_3}{\partial x_1} & \mu~\cfrac{\partial u_3}{\partial x_2} & 0 \end{bmatrix}
</math>

где <math>\mu</math> - модуль сдвига материала.

Уравнения равновесия в случае антиплоского сдвига

В общем случае имеют место три уравнения равновесия. Однако, для антиплоского сдвига в предположении, что компоненты вектора массовых сил в направлении осей <math>x_1</math> и <math>x_2</math> равны нулю, они сводятся к одному уравнению следующего вида:

<math>

   \mu~\Delta u_3 + b_3(x_1, x_2) = 0
</math>

где <math>b_3</math> - компонента вектора массовых сил, направленная вдоль оси <math>x_3</math> и <math>\Delta u_3 = \cfrac{\partial^2 u_3}{\partial x_1^2} + \cfrac{\partial^2 u_3}{\partial x_2^2}</math>.

Отметим, что такое уравнение подходит только для случая бесконечно малых деформаций.

Приложения

Гипотеза антиплоского сдвига используется при определении напряжений, вызванных винтовой дислокацией.