Русская Википедия:Аппроксимации эллиптических интегралов
Эллиптические интегралы не выражаются через элементарные функции. По определению, элементарные функции [1] — функции, определяемые формулами, содержащими конечное число алгебраических или тригонометрических операций, производимых над аргументом, функцией и некоторыми постоянными.
Эллиптические интегралы в лежандровой форме 1-го, 2-го и 3-го родов [1], а также интегралы, сходные с ними (с заменой знаков плюс на минус и/или с заменой cos на sin или наоборот) точно представимы функциональным рядом. Такое представление не является элементарной функцией ввиду бесконечного числа членов этого ряда.
Руководствуясь соображениями достижения необходимой точности и, взяв в расчёт n начальных членов ряда и пренебрегая остатком, то есть суммой остальных членов ряда от n+1 до ∞, получим аппроксимацию (определённого или неопределённого) эллиптического интеграла в виде элементарной функции. Аппроксимации эллиптических интегралов применяются аналогично обычным интегралам.
Определённый интеграл 1-го рода можно представить в виде:
- <math> \int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2} \frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=\sqrt{1+E}\left(\varphi-\frac{E\sin2\varphi}{4}+...\right)\Bigr |_{\varphi_1}^{\varphi_2};</math>
<math>(\varepsilon\approx 4{,}2\cdot 10^{-6};~~ \mu_{\varepsilon}(2)\approx 330).</math>
Здесь и далее в формулах применяются следующие обозначения:
- <math>E=\frac{k^2}{2-k^2};EducationBot (обсуждение)N=\frac{h}{2+h}; </math>
- <math>\varepsilon_0=\left| \frac{F(\varphi)\mid_{\varphi_1}^{\varphi_2} -\int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2}f(\varphi)d\varphi}{\int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2}f(\varphi)d\varphi}\right|</math> — расчётная относительная погрешность вычисления эллиптических интегралов по указанным формулам для эллипсов, подобных меридиональному земному (k2=0,006693 и h=0,006674).
- <math>\varepsilon=\varepsilon_{0max}</math> — максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы в диапазоне углов <math> \Delta~\varphi=\varphi_2 - \varphi_1 < \frac{\pi}{2}.</math>
- <math>\mu_\varepsilon(m)</math> — число, указывающее, во сколько раз уменьшится максимальная расчётная относительная погрешность соответствующей формулы, если добавить <math>m</math> неуказанных членов в её формулу разложения.
Определённый интеграл 2-го рода представи́м в виде:
- <math> \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\ d\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+E}}\left(\varphi+\frac{E\sin2\varphi}{4}+...\right)\Bigr |_{\varphi_1}^{\varphi_2};</math>
<math>(\varepsilon\approx 1{,}4\cdot 10^{-6};~~ \mu_{\varepsilon}(2)\approx 500).</math>
Длина дуги эллипса с единичной большой полуосью:
- <math> \int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2}{\sqrt{1-k^2\cos^2\varphi}}\ d\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+E}}\left(\varphi-\frac{E \sin 2\varphi}{4}+...\right)\Bigr |_{\varphi_1}^{\varphi_2};</math>
<math>(\varepsilon\approx 1{,}4\cdot10^{-6};~~ \mu_{\varepsilon}(2)\approx 500).</math>
Определённый интеграл 3-го рода можно записать в виде:
- <math> \int_{\varphi_1} ^ {\varphi_2} \frac{d\varphi}{(1+h\cdot \sin^2\varphi)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=</math>
- <math>=\frac{\sqrt{1+E}}{2+h}\cdot \left(\frac{2+h}{\sqrt{1+h}}\operatorname{arctg}\left(\sqrt{1+h}\cdot \operatorname{tg}\varphi\right)\left(1-\frac{E}{2N}+...\right)+\varphi\cdot\left(\frac{E}{N}+...\right)+...\right)\Bigl |_{\varphi_1}^{\varphi_2};</math>
- <math>(\varepsilon\approx 4{,}2\cdot10^{-6};~~ \mu_{\varepsilon}(3)\approx 330).</math>
Пример
Для вычисления длины дуги геодезической линии на поверхности земного сфероида[2] требуется вычисление определённого интеграла вида:
- <math> \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \frac{d\varphi}{(1+h\cdot\cos^2\varphi)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}=</math>
- <math>=\frac{\sqrt{1+E}}{2+h}\cdot\left(\frac{2+h}
{\sqrt{1+h}}\text{arctg}\left(\frac{\text{tg}\ \varphi}{\sqrt{1+h}}\right)\left(1+\frac{E}{2N}+...\right)- \varphi \left(\frac{E}{N}+...\right)+...\right)\Bigr |_{\varphi_1}^{\varphi_2}; </math>
- <math>(\varepsilon\approx 4{,}2\cdot10^{-6};~~ \mu_{\varepsilon}(3)\approx 330).</math>
См. также
Примечания
