Русская Википедия:Арифметико-геометрическая прогрессия

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Арифметико-геометрическая прогрессия (АГП) — последовательность чисел <math>u_{n}</math>, задаваемая рекуррентным соотношением <math>u_{n+1}=qu_{n}+d</math>, где <math>q</math> и <math>d</math> — константы. Частными случаями арифметико-геометрической прогрессии являются арифметическая прогрессия (при <math>q=1</math>) и геометрическая прогрессия (при <math>d=0</math>).

Примеры

1. Стационарная последовательность может быть задана следующим образом: <math>u_1 = 1,\; d = 3,\; q=-2</math>, т. е. <math>\left \{ u_{n} \right \}:\quad 1,\; 1,\;1,\;1,\;1</math>.
2. Убывающая последовательность: <math>u_1 = 0,\; d = -5,\; q=3</math>, т. е. <math>\left \{ u_{n} \right \}:\quad 0,\; -5,\;-20,\;-65,\;-200,\;-605,\;-1820</math>.
3. Возрастающая последовательность: <math>u_1 = \dfrac{2}{3},\; d = -1,\; q=3</math>, т. е. <math>\left \{ u_{n} \right \}:\quad \dfrac{2}{3},\; 1,\;2,\;5,\;14,\;41,\;122,\;365</math>.

Формула для общего члена

Рассмотрим исходное соотношение: <math>u_{n+1}=qu_{n}+d</math> при <math>n=1, 2, ...</math>

Пусть в этом соотношении <math>q \neq 1</math> и <math>d \neq 0</math>. Прибавив к обеим частям выражение <math>\dfrac{d}{q-1}</math>, получаем

<math>u_{n + 1} + \dfrac{d}{q - 1} = q \left( u_n + \dfrac{d}{q - 1} \right)</math>

<math>u_n + \dfrac{d}{q - 1} = q \left( u_{n - 1} + \dfrac{d}{q - 1} \right)</math>

<math>\ldots</math>

<math>u_3 + \dfrac{d}{q - 1} = q \left( u_2 + \dfrac{d}{q - 1} \right)</math>

<math>u_2 + \dfrac{d}{q - 1} = q \left( u_1 + \dfrac{d}{q - 1} \right)</math>

Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

<math>u_{n+1} = q^{n}(u_{1}+\dfrac{d}{q-1})- \dfrac{d}{q-1}</math>

Свойства

• Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:

<math>u_{n+1} = (q+1)u_{n}-qu_{n-1}</math>

• Прогрессия <math>\left \{ u_{n} \right \}</math> тогда и только тогда стационарна, когда <math>u_{n} = \dfrac{d}{1-q}</math>, причём <math>q \neq 1</math> и <math>d \neq 0</math>.

• Разность <math>d</math> арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле

<math>d = \dfrac{u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}</math>

• Последовательность <math>a_{n}=u_{n+1}-u_{n}</math> является геометрической прогрессией с тем же знаменателем <math>q</math>.
• Знаменатель <math>q</math> находится по формуле: <math>q = \dfrac{u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}</math>

Обобщённая теорема

• Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:

<math>S_{n+1}=(q+2)S_{n}-(2q+1)S_{n-1}+qS_{n-2}</math>

• Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.