Русская Википедия:Арифметическая группа

Арифметическая группа — это группа, получаемая как целые точки алгебраической группы, например, <math>\mathrm{SL}_2(\Z).</math> Арифметические группы возникают естественным образом при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических областей теории чисел. Они также являются источником для очень интересных примеров римановых многообразий, а потому представляют интерес для дифференциальной геометрии и топологии. Наконец, эти две области объединяются в теорию автоморфных форм, которая является фундаментальной в современной теории чисел.

История

Одним из источников математической теории арифметических групп является алгебраическая теория чисел. Классическую теорию приведения квадратичных и эрмитовых форм Шарля Эрмита, Германа Минковского и других можно рассматривать как вычисление фундаментальных областей действий некоторых арифметических групп на соответствующих симметрических пространствах Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Эта область была связана с геометрией чисел Минковского и ранними разработками в изучении арифметических инвариантов числовых полей, таких как дискриминант. Арифметические группы можно рассматривать как сильное обобщение групп единиц числовых полей на некоммутативные условия.

Те же группы появляются также в аналитической теории чисел при изучении классических модулярных форм и при разработке их обобщений. Конечно, две области были связаны, как можно видеть в примере лагландовского вычисления объёма некоторых фундаментальных областей с помощью аналитических методовШаблон:Sfn. Кульминацией этой классической теории была работа Зигеля, который показал во многих случаях конечность объёма фундаментальной области.

Для развития современной теории была необходима подготовительная работа и эту работу в области алгебраических групп сделали Арман Борель, Андре Вейль, Жак Титс и другиеШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Вскоре после этого Борель и Хариш-Чандра доказали конечность кообъёма в полной общностиШаблон:Sfn. Тем временем наблюдался прогресс в общей теории решёток в группах Ли, который обеспечили работы Атле Сельберга, Григория Маргулиса и Давида Каждана, М. С. Рагунатана и других. Современное положение после этого периода было зафиксировано в трактате Рагунатана, опубликованном в 1972Шаблон:Sfn.

В семидесятых годах Маргулис революционизировал эту область, доказав, что в «большинстве» случаев арифметические построения применимы ко всем решёткам в данной группе ЛиШаблон:Sfn. Некоторые ограниченные результаты в этом направлении были получены ранее Селбергом, но методы Маргулиса (использование эргодических теоретических средств для действия на однородные пространства) были совершенно новыми в этом контексте и оказали крайне высокое влияние на последующих исследователей, эффективно обновляя старую дисциплину геометрии чисел, что позволило самому Маргулису доказать Шаблон:Не переведено 5. Более строгие результаты (Шаблон:Не переведено 5) были позднее получены Мариной Ратнер.

В другом направлении, классическая теория модулярных форм расцвела в виде современной теории автоморфных форм. Движущей силой этого расцвета в большей части была программа, предложенная Робертом Ленглендсом. Одним из основных средств, используемых здесь, является Шаблон:Не переведено 5, представленная в работе СелбергаШаблон:Sfn и развитая для более общих условий Джеймсом Артуром Шаблон:Sfn.

Наконец, арифметические группы часто используются для построения интересных примеров локально симметричных римановых многообразий. Особенно активно исследования проводились в области арифметических гиперболических 3-многообразий, о которых Тёрстон писалШаблон:Sfn: «...часто имеют особую красоту».

Определение и построение

Арифметические группы

Если <math>\mathrm G</math> является алгебраической подгруппой группы <math>\mathrm{GL}_n(\Q)</math> для некоторого <math>n</math>, то мы можем определить арифметическую подгруппу группы <math>\mathrm G(\Q)</math> как группу целых точек <math>\Gamma = \mathrm{GL}_n(\Z) \cap \mathrm G(\Q)</math>. В общем случае не очевидно, как точно определить понятие «целых точек» <math>\Q</math>-группы, а подгруппа, определённая выше, может меняться, если мы возьмём другое вложение <math>\mathrm G \to \mathrm{GL}_n(\Q).</math>

Тогда лучшее определение понятия — взять в качестве определения арифметической подгруппы группы <math>\mathrm G(\Q)</math> любую группу <math>\Lambda</math>, которая Шаблон:Не переведено 5 (это значит, что как <math>\Gamma/(\Gamma\cap \Lambda)</math>, так и <math>\Lambda/(\Gamma \cap \Lambda)</math> являются конечными множествами) с группой <math>\Gamma</math>, определённой выше (с учётом любого вложения в <math> \mathrm{GL}_n</math>). По этому определению с алгебраической группой <math>\mathrm G</math> ассоциирован набор «дискретных» подгрупп, соизмеримых друг с другом.

Использование числовых полей

Естественным обобщением вышеприведённого построения является следующее: пусть <math>F</math> — числовое поле с кольцом целых <math>O</math>, а <math>\mathrm G</math> — алгебраическая группа над <math>F</math>. Если нам задано вложение <math>\rho : \mathrm{G} \to \mathrm{GL}_n</math>, определённое над <math>F</math>, то подгруппа <math>\rho^{-1}(\mathrm{GL}_n(O)) \subset \mathrm G(F)</math> может быть с полным основанием названа арифметической группой.

С другой стороны, класс групп, полученных таким образом, не больше, чем класс арифметических групп, определённых выше. Более того, если мы рассмотрим алгебраическую группу <math>\mathrm G'</math> над <math>\Q</math>, полученную ограничением скаляров из <math>F</math> в <math>\Q</math>, и <math>\Q </math>-вложение <math>\rho' : \mathrm G' \to \mathrm{GL}_{dn}</math>, порождённое <math>\rho</math> (где <math>d = [F:\Q ]</math>), то группа, построенная выше, совпадает с <math>(\rho')^{-1}(\mathrm{GL}_{nd}(\Z))</math>.

Примеры

Классическим примером арифметической группы является <math>\mathrm{SL}_n(\Z)</math> или тесно связанные группы <math>\mathrm{PSL}_n(\Z)</math>, <math>\mathrm{GL}_n(\Z)</math> и <math>\mathrm{PGL}_n(\Z)</math>. Для <math>n = 2</math> группа <math>\mathrm{PSL}_2(\Z)</math> или, иногда, <math>\mathrm{SL}_n(\Z)</math>, называется модулярной группой, так как она связана с модулярной кривой. Похожими примерами являются Шаблон:Не переведено 5 <math>\mathrm{Sp}_{2g}(\Z)</math>.

Другие хорошо известные и изученные примеры — Шаблон:Не переведено 5 <math>\mathrm{SL}_2(O_{-m})</math>, где <math>m > 0</math> является свободным от квадратов целым, а <math>O_{-m}</math> является кольцом целых в поле <math>\Q(\sqrt{-m})</math>, и Шаблон:Не переведено 5 <math>\mathrm{SL}_2(O_m)</math>.

Другие классические примеры задаются целыми элементами в ортогональной группе квадратичных форм, определённых над числовым полем, например, <math>\mathrm{SO}(n,1)(\Z )</math>. Связанное построение — выбор групп единиц Шаблон:Не переведено 5 в алгебрах кватернионов над числовыми полями (например, Шаблон:Не переведено 5). Похожие построения можно осуществить с унитарными группами эрмитовых форм и хорошо известным примером является Шаблон:Не переведено 5.

Арифметические решётки в полупростых группах Ли

Когда <math>G</math> является группой Ли, можно определить арифметическую решётку в <math>G</math> следующим образом: для любых алгебраических групп <math>\mathrm G</math>, определённых над <math>\Q</math>, таких, что существует морфизм <math>\mathrm G(\R) \to G</math> с компактным ядром, образ арифметической подгруппы в <math>\mathrm G(\Q)</math> является арифметической решёткой в <math>G</math>. Поэтому, например, если <math>G = \mathrm G(\R)</math> и <math>G</math> являются подгруппами <math>\mathrm{GL}_n</math>, то <math>G \cap \mathrm{GL}_n(\Z)</math> является арифметической решёткой в <math>G</math> (однако существует много больше решёток, соответствующих другим вложениям). Например, <math>\mathrm{SL}_n(\Z)</math> является арифметической решёткой в <math>\mathrm{SL}_n(\R )</math>.

Теорема Бореля — Хариш-Чандры

Решётка в группе Ли обычно определяется как дискретная подгруппа с конечным кообъёмом. Терминология, представленная выше, сцеплена с этой, поскольку теорема, принадлежащая Борелю и Хариш-Чандре, утверждает, что арифметическая подгруппа в полупростой группе Ли имеет конечный кообъём (дискретность очевидна).

Теорема более точна, она утверждает, что арифметическая решётка является кокомпактной тогда и только тогда, когда «форма» группы <math>G</math>, используемая для её определения (т.е. <math>\Q </math>-группа <math>\mathrm G</math>) анизотропна. Например, арифметическая решётка, ассоциированная с квадратичной формой от <math>n</math> переменных над <math>\Q</math>, будет кокомпактной в ассоциированной ортогональной группе тогда и только тогда, когда квадратичная форма не обращается в нуль в любой точке на <math>\Q^n \setminus \{ 0\}</math>.

Теорема Маргулиса об арифметичности

Блистательный результат, полученный Маргулисом, является частичным обращением теоремы Бореля — Хариш-Чандры: для определённых групп любая решётка является арифметической. Этот результат верен для всех неприводимых решёток в полупростых группах Ли вещественного ранга, большего двухШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Например, все решётки в <math>\mathrm{SL}_n(\R )</math> являются арифметическими, если <math>n \geqslant 3</math>. Главным новым элементом, который использовал Маргулис для доказательства теоремы, была Шаблон:Не переведено 5 решёток в группах высокого ранга, которую он доказал для получения своего результата.

Неприводимость играет роль, только если <math>G</math> имеет множитель с вещественным рангом единица (в противном случае теорема выполняется всегда) и не проста. Это означает, что для любого разложения <math>G = G_1\times G_2</math> решётка несоизмерима с произведением решёток в каждом множителе <math>G_i</math>. Например, решётка <math>\mathrm{SL}_2(\Z [\sqrt 2])</math> в <math>\mathrm{SL}_2(\R) \times \mathrm{SL}_2(\R)</math> неприводима, в то время как <math>\mathrm{SL}_2(\Z) \times \mathrm{SL}_2(\Z)</math> таковой не является.

Теорема Маргулиса об арифметичности (и супержёсткости) выполняется для некоторых групп Ли ранга 1, а именно <math>\mathrm{Sp}(n,1)</math> для <math>n \geqslant 1 </math> и исключительной группы <math>F_4^{-20}</math>Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Известно, что теорема не выполняется для всех групп <math>\mathrm{SO}(n,1)</math> для <math> n \geqslant 2 </math> и для <math>\mathrm{SU}(n, 1)</math> при <math>n = 1,2,3</math>. Не известны неарифметические решётки в группах <math>\mathrm{SU}(n,1)</math>, если <math>n \geqslant 4</math>.

Арифметические фуксовы и кляйновы группы

Шаблон:Основная статья Шаблон:Основная статья

Арифметическая фуксова группа строится из следующих данных: Шаблон:Не переведено 5 <math>F</math>, алгебра кватернионов <math>A</math> над <math>F</math> и порядок <math>\mathcal O</math> в <math>A</math>. Требуем, чтобы для одного вложения <math>\sigma: F \to \R</math> алгебра <math>A^\sigma \otimes_F \R</math> была изоморфна матричной алгебре <math>M_2(\R)</math>, а все остальные должны быть изоморфны кватернионам Гамильтона. Тогда группа единиц <math>\mathcal O^1</math> является решёткой в <math>(A^\sigma \otimes_F \R)^1</math>, которая изоморфна <math>\mathrm{SL}_2(\R)</math> и кокомпактна во всех случаях, за исключением случаев, когда <math>A</math> является матричной алгеброй над <math>\Q</math>. Все арифметические решётки в <math>\mathrm{SL}_2(\R)</math> получаются таким образом (с точностью до соизмеримости).

Арифметические кляйновы группы строятся аналогично, за исключением того, что от <math>F</math> требуется наличие в точности одного комплексного места, а для всех вещественных мест <math>A</math> должны быть кватернионами Гамильтона. Они исчерпывают все арифметические классы соизмеримости в <math>\mathrm{SL}_2(\Complex).</math>

Классификация

Для любой простой полупростой группы Ли <math>G</math>, теоретически, возможно классифицировать (с точностью до соизмеримостью) все арифметические решётки в <math>G</math>, аналогично случаям <math>G = \mathrm{SL}_2(\R), \mathrm{SL}_2(\Complex)</math>, описанным выше. Это сводится к классификации алгебраических групп, вещественные точки которых изоморфны с точностью до компактного множителя группе <math>G</math>Шаблон:Sfn.

Задача о конгруэнтной подгруппе

Шаблон:Основная статья

Конгруэнтная подгруппа является (грубо говоря) подгруппой арифметической группы, определённой выбором всех матриц, удовлетворяющих некоторым уравнениям по модулю целого числа, например, выбором группы 2 х 2 целочисленных матриц с диагональными (соответственно, внедиагональными) элементами, конгруэнтными 1 (соответственно, 0) по модулю положительного целого числа. Они всегда являются подгруппами конечного индекса, а задача о конгруэнтной подгруппе, грубо говоря, спрашивает, получаются ли все подгруппы таким образом. Гипотеза (обычно приписываемая Серру), утверждает, что это верно для (неприводимых) решёток в группах высокого ранга и неверно для групп ранга единица. Гипотеза остаётся открытой в такой общности, но имеется много результатов, устанавливающую верность гипотезы для конкретных решёток (для положительного и отрицательного случаев).

<math>S</math>-арифметические группы

Вместо выбора целых точек в определении арифметической решётки можно взять точки, которые являются целыми только вне конечного набора простых чисел. Это ведёт к понятию <math>S</math>-арифметической решётки (где <math>S</math> означает набор чисел, обратных простым). Прототипичным примером является <math>\mathrm{SL}_2 \left( \Z \left[\tfrac 1 p \right] \right)</math>. Они являются естественными решётками в некоторых топологических группах, например, <math>\mathrm{SL}_2 \left( \Z \left[\tfrac 1 p \right] \right)</math> является решёткой в <math>\mathrm{SL}_2(\R) \times \mathrm{SL}_2(\Q_p).</math>

Определение

Формальное определение <math>S</math>-арифметической группы для конечного множества простых чисел <math>S</math> такое же, что и для арифметических групп с <math>\mathrm{GL}_n(\Z)</math>, заменённым на <math>\mathrm{GL}_n\left(\Z \left[ \tfrac 1 N \right] \right)</math>, где <math>N</math> является произведением простых в <math>S</math>.

Решётки в группах Ли над локальными полями

Теорема Бореля — Хариш-Чандры обобщается на <math>S</math>-арифметические группы следующим образом: если <math>\Gamma</math> является <math>S</math>-арифметической группой группы в <math>\Q</math>-алгебраической группе <math>\mathrm G</math>, то <math>\Gamma</math> является решёткой в локально компактной группе

<math>G = \mathrm G(\R) \times \prod_{p\in S} \mathrm G(\Q_p)</math>.

Некоторые приложения

Явные экспандеры

Арифметические группы со Шаблон:Не переведено 5 или более слабым свойством (<math>\tau</math>) Любоцкого и Циммера можно использовать для построения экспандеров (Маргулис) или чётных графов Рамануджана (Любоцкий — Филлипс — СарнакШаблон:Sfn Шаблон:Sfn). Известно, что такие графы существуют в изобилии согласно вероятностным доводам, но явная природа таких построений делают их интересными.

Экстремальные поверхности и графы

Известно, что конгруэнтность накрытий Шаблон:Не переведено 5 приводит к поверхностям с большим радиусом инъективности Шаблон:Sfn. Подобным же образом графы Рамануджана, построенные Любоцким, Филлипсом и Сарнаком, имеют большой обхват. Известно, что из свойства Рамануджана вытекает, что локальные обхваты графа почти всегда большиеШаблон:Sfn.

Изоспектральные многообразия

Арифметические группы могут быть использованы для построения изоспектральных многообразий. Впервые это построение реализовала Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Sfn и вскоре после этого появились различные варианты её построения. Задача изоспектральности является, фактически, очень пригодной для изучения в ограниченных условиях арифметических многообразийШаблон:Sfn.

Ложные проективные плоскости

Ложная проективная плоскостьШаблон:Sfn — это комплексная поверхность, которая имеет те же числа Бетти, что и проективная плоскость <math>\mathbb P^2(\Complex)</math>, но не Шаблон:Не переведено 5 ей. Первый пример такой плоскости нашёл Мамфорд. Согласно труду Клинглера (независимо проверенного Енгом) все они являются факторпространствами 2-шара по арифметическим решёткам в <math>\mathrm{PU}(2,1)</math>. Возможные решётки классифицировали Прасад и Енг, а завершили классификацию Картрайт и Стигер, проверившие, что они действительно соответствуют ложным проективным плоскостям.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.