Русская Википедия:Арифметическая производная

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Арифметическая производная (производная Лагариаса, числовая производная) — функция, определённая для целых чисел, основанная на факторизации целых чисел, таким образом, что для неё действует аналог правила произведения для производных. Стандартным обозначением для натурального числа <math>n</math> является <math>D(n)</math>; оно определяется следующим образом:

Файл:АрифметическаяПроизводная.png

Значения <math>D(n)</math> для первых 10000 значений <math>n</math>

• <math>D(0) = D(1) = 0</math>,
• <math>D(p) = 1</math> для любого простого числа <math>p</math>,
• <math>D(ab) = D(a)b + D(b)a</math> для любых <math>a, b \in \natnums</math> (правило произведения).

Область определения может быть расширена на целые числа: пользуясь тем фактом, что <math>D(1) = 0</math>, устанавливается, что <math>D(-1) = 0</math>:

<math>0 = D(1) = D((-1)\cdot(-1)) = -2\cdot D(-1) \implies D(-1) = 0</math>,

таким образом, для любого целого <math>n</math>:

<math>D(-n) = D((-1)\cdot n) = D(-1)n + -D(n) = -D(n)</math>.

Для арифметической производной также применимо правило производной частного двух функций (что позволяет расширить область определения до рациональных чисел):

<math>0 = D(1) = D(\frac{a}{a}) = D(a)\frac{1}{a} + D(\frac{1}{a})a \implies D(\frac{1}{a}) =-\frac{D(a)}{a^2}</math>;

отсюда следует:

<math>D(\frac{a}{b}) = D(a)\frac{1}{b}+D(\frac{1}{b})a = \frac{D(b)a}{b^2} - \frac{D(a)}{b} =

\frac{D(b)a - D(a)b}{b^{2}}</math>

Также применимо и правило производной степени функции:

<math>D(a^n) = na^{n-1}D(a)</math> для любого целого числа <math>a</math> и <math>n \geqslant 0 </math>,

<math>D(p^n) = np^{n-1}</math> для любого простого числа <math>p</math> и любого целого числа <math>n \geqslant 0 </math>,

<math>D(\frac{1}{p^{n}}) = -\frac{n}{p^{n+1}}</math> для любого простого числа <math>p</math>.