Русская Википедия:Арифметические прогрессии из простых чисел
Несколько простых чисел могут быть членами арифметической прогрессии.
Все последовательности простых чисел, являющихся строго последовательными элементами некоторой арифметической прогрессии, конечны, однако существуют сколь угодно длинные такие последовательности (см. теорема Грина — Тао).
| длина | разность | последовательность |
|---|---|---|
| 3 | 2 | 3, 5, 7 |
| 5 | 6 | 5, 11, 17, 23, 29 |
| 6 | 30 | 7, 37, 67, 97, 127, 157 |
| 7 | 150 | 7, 157, 307, 457, 607, 757, 907 |
| 10 | 210 | 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 |
| 12 | 13860 | 110437, 124297, 138157, 152017, 165877, 179737, 193597, 207457, 221317, 235177, 249037, 262897 |
| 13 | 30030 | 14933623, 14963653, 14993683, 15023713, 15053743, 15083773, 15113803, 15143833, 15173863, 15203893, 15233923, 15263953, 15293983 |
По состоянию на 2020 год, самые длинные из известных последовательностей такого типа имеют длину 27, например:
- Шаблон:Num + Шаблон:Num · 23# · n, где n=0..26, 23# — праймориал числа 23, равный Шаблон:Num.[1]
Оценка на минимальные числа в прогрессиях данной длины
Для любого натурального <math>k</math> существует арифметическая прогрессия из простых чисел длины <math>k</math>, все члены которой не больше <math>2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{100k}}}}}}}</math>. [2]
Последовательности без пропусков
Можно потребовать, чтобы между соседними членами прогрессии не было других простых чисел, то есть чтобы прогрессия представляла собой часть общей последовательности простых чисел.
| длина | разность | последовательность |
|---|---|---|
| 3 | 2 | 3, 5, 7 |
| 4 | 6 | 251, 257, 263, 269 |
| 5 | 30 | 9843019, 9843049, 9843079, 9843109, 9843139 |
| 6 | 30 | 121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961 |
Самые длинные из известных последовательностей такого типа имеют длину 10.
По состоянию на 2017 год известны всего 2 такие последовательности[3]:
- Шаблон:Num · 193# + x77 + 210n, для n=0..9 (93 цифры),
- Шаблон:Num · 193# + x77 + 210n, для n=0..9 (93 цифры),
где
- x77 = Шаблон:Num — 77-значное простое число,
- a 193# — праймориал числа 193, то есть произведение простых <math>2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 193</math>.
Примечания
Ссылки
- Chris Caldwell, материалы с сайта Prime Pages:
- Словарь простых чисел: Арифметические последовательностиШаблон:Ref-en
- ТОП-20: Арифметические прогрессии из простых чиселШаблон:Ref-en
- ТОП-20: Арифметические прогрессии из простых чисел без пропусковШаблон:Ref-en
- Шаблон:MathWorld
- Jarosław Wróblewski, Как найти арифметическую прогрессию из 26 простых числе?Шаблон:Ref-en
- P. Erdős and P. Turán, "On some sequences of integers", J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
