Архиме́дово те́ло (или архиме́дов многогра́нник) — выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам.
Здесь «идентичные вершины» означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела отличаются от платоновых тел (правильных многогранников), которые состоят только из одного типа многоугольников в одинаковых вершинах, и от многогранников Джонсона, правильные многоугольные грани которого принадлежат различным типам вершин.
Иногда только требуется, чтобы грани, прилегающие к одной вершине, были изометричными граням при другой вершине. Эта разница в определениях определяет, считается ли удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоШаблон:ShyромбоШаблон:ShyкубоШаблон:Shyоктаэдр) архимедовым телом или многогранником Джонсона — это единственный выпуклый многогранник, в котором многоугольные грани примыкают к вершине одним и тем же способом в каждой вершине, но многогранник не имеет глобальную симметрию, которая бы переводила любую вершину в любую другую. Основываясь на существовании псевдоШаблон:ShyромбоШаблон:ShyкубоШаблон:Shyоктаэдра, ГрюнбаумШаблон:Sfn предложил терминологическое различие, в котором архимедово тело определяется как имеющее одну и ту же вершинную фигуру в каждой вершине (включая удлинённый квадратный гиробикупол), в то время как однородный многогранник определяется как тело, у которого любая вершина симметрична любой другой (что исключает гиробикупол).
Архимедовы тела названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянной работе. Папп ссылается на эту работу и утверждает, что Архимед перечислил 13 многогранниковШаблон:Sfn. Во времена Возрожденияхудожники и математики ценили чистые формы и переоткрыли их все. Эти исследования были почти полностью закончены около 1620 года Иоганном КеплеромШаблон:Sfn, который определил понятия призм, антипризм и невыпуклых тел, известных как тела Кеплера — Пуансо.
Кеплер, возможно, нашёл также удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбокубооктаэдр) — по меньшей мере, он утверждал, что имеется 14 архимедовых тел. Однако его опубликованные перечисления включают только 13 однородных многогранников, и первое ясное утверждение о существовании псевдоромбоикосаэдра было сделано в 1905 Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.
Здесь вершинная конфигурация относится к типам правильных многоугольников, которые примыкают к вершине. Например, вершинная конфигурация (4,6,8) означает, что квадрат, шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершине (порядок перечисления берётся по часовой стрелке относительно вершины).
Плосконосый куб и плосконосый додекаэдр хиральны, поскольку они появляются в левостороннем и правостороннем вариантах. Если что-то имеет несколько видов, которые являются трёхмерным зеркальным отражением друг друга, эти формы называют энантиоморфами (это название применяется также для некоторых форм химических соединений).
Различные архимедовы и платоновы тела могут быть получены друг из друга с помощью пригоршни операций. Начиная с платоновых тел можно использовать операцию усечения углов. Для сохранения симметрии усечение делается плоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей угол с центром многоугольника. В зависимости от того, насколько глубоко проводится усечение (см. таблицу ниже), получим различные платоновы и архимедовы (и другие) тела. Растяжение или скашивание осуществляется путём движения граней (в направлении) от центра (на одно и то же расстояние, чтобы сохранить симметрию) и созданием, затем, выпуклой оболочки. Расширение с поворотом осуществляется также вращением граней, это ломает прямоугольники, возникающие на местах рёбер, на треугольники. Последнее построение, которое мы здесь приводим, это усечение как углов, так и рёбер. Если игнорировать масштабирование, расширение можно также рассматривать как усечение углов и рёбер, но с определённым отношением между усечениями углов и рёбер.
Шаблон:-
Заметим двойственность между кубом и октаэдром и между додекаэдром и икосаэдром. Также, частично вследствие самодвойственности тетраэдра, только одно архимедово тело имеет только одну тетраэдральную симметрию.
