Русская Википедия:Асимптота
Асимпто́та, или аси́мптота[1] (от Шаблон:Lang-grc — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[3].
Виды асимптот графиков
Вертикальная
Прямая вида <math>x = a</math> является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:
- <math>\lim_{x \to a^-}f(x)= \pm\infty </math>
- <math>\lim_{x \to a^+}f(x)=\pm\infty </math>.
Вертикальных асимптот может быть любое количество.
Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке <math>a</math>. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Горизонтальная и наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида <math>y=kx+b</math>, если выполняется хотя бы одно из равенств:
- <math>\lim_{x \to +\infty}(f(x)-kx)=b</math>
- <math>\lim_{x \to -\infty}(f(x)-kx)=b</math>.
При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при <math>x \to + \infty</math>, а если второе, то асимптотой при <math>x \to - \infty</math>[4].
Если <math>k=0</math>, то асимптота также называется горизонтальной.
Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при <math>x \to + \infty</math> и одна при <math>x \to - \infty</math>, но она может быть одна или их вовсе может не быть.
Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности[5].
Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности[5].
Нахождение асимптот
Порядок нахождения асимптот
- Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть бесконечность).
- Проверка, не являются ли конечными пределы <math>\lim_{x \to +\infty}f(x)=b</math> и<math>\lim_{x \to -\infty}f(x)=b</math>. Если да, то существует горизонтальная асимптота <math>y=b</math> при <math>+\infin</math> и <math>-\infin</math> соответственно.
- Нахождение двух пределов <math>\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k</math>
- Нахождение двух пределов <math>\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b</math>, если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен <math>\pm\infty</math>), то наклонной асимптоты при <math>x \to + \infty</math> (или <math>x \to - \infty</math>) не существует.
Наклонная асимптота — выделение целой части
Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:
Дана функция <math>f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1}</math>.
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: <math>f(x)=2x+5+ \frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2) \cdot \frac{x+2}{x^2+1}</math>.
При <math>x \to \pm\infty</math>, <math>\frac{x+2}{x^2+1} \to 0</math>,
и <math>y=2x+5</math> является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.
Свойства
- Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости[6]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.
См. также
Примечания
Литература
- Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
- Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.
Ссылки
- ↑ Двойное ударение указано в Советском энциклопедическом словаре. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: Шаблон:Книга) указывался единственный вариант ударения «асимпто́та».
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Математический энциклопедический словарь Шаблон:Wayback — Шаблон:М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ 5,0 5,1 «Asymptotes» by Louis A. Talman
- ↑ Шаблон:Книга
