Русская Википедия:Асимптотическая формула Вейля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Асимптотическая формула Вейля связывает объём риманова многообразия с асимптотическим поведением собственных значений его лапласиана.

История

Соотношение было получено Германом Вейлем в 1911 году. Изначально оно формулировалось только для областей евклидова пространства. В 1912 году он представил новое доказательство на основе вариационных методов.

Формулировка

Пусть <math>\Omega</math> — <math>d</math>-мерное риманово многообразие. Обозначим через <math> N(\lambda)</math> число собственных значений (с учётом кратности), не превосходящих <math>\lambda</math>, для задачи Дирихле на <math>\Omega</math>. Тогда

<math>N(\lambda)=

\frac{\omega_d}{(2\pi)^d}\cdot\operatorname{vol}\Omega\cdot \lambda^{d/2}+o(\lambda^{d/2}) </math>, где <math>\omega_d</math> обозначает объем единичного шара в <math>d</math>-мерном евклидовом пространстве.

Уточнения

Оценка на остаточный член была многократно улучшена.

• В 1922 г. Рихард Курант улучшил её до <math>O(\lambda^{(d-1)/2}\log \lambda)</math>.
• В 1952 году Борис Левитан доказал более жесткое ограничение <math>O(\lambda^{(d-1)/2})</math> для замкнутых многообразий.
• en (Robert Thomas Seeley) обобщил эту оценку, в частности, включил определенные евклидовы области, в 1978 году.

Предположительно, следующий член в асимптотике при <math>\lambda^{(d-1)/2}</math> пропорционален площади границы <math>\Omega</math>. С учётом этого члена, оценка на остаточный член должна быть <math>o(\lambda^{(d-1)/2})</math>. В частности, при условии отсутствия границы оценка на остаточный член в формуле выше должна быть <math>o(\lambda^{(d-1)/2})</math>.

• В 1975 году en (Hans Duistermaat) и en (Victor Guillemin) доказали оценку <math>o(\lambda^{(d-1)/2})</math> при некоторых дополнительных условиях общего положения.
  • Последнее было обобщенно Виктором Иврием в 1980 году. Это обобщение предполагает, что множество периодических траекторий бильярда в <math>\Omega</math> имеет меру 0. Последнее, возможно, выполняется для всех ограниченных евклидовых областей с гладкими границами.