Русская Википедия:Асимптотический анализ

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:About

Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.

Например, в функции <math>f(n)=n^2+3n</math> при стремлении <math>n</math> к бесконечности слагаемое <math>3n</math> становится пренебрежимо малым по сравнению с <math>n^2</math>, поэтому про функцию <math>f(n)</math> говорят, что она «асимптотически эквивалентна <math>n^2</math> при <math>n \to \infty</math>», что зачастую также записывают как <math>f(n) \sim n^2</math>. Примером важного асимптотического результата является теорема о распределении простых чисел. Пусть <math>\pi(x)</math> обозначает функцию распределения простых чисел, то есть, <math>\pi(x)</math> равна количеству простых чисел, которые меньше либо равны <math>x</math>, тогда теорема может быть сформулирована как <math>\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}</math>.

Асимптотическое равенство

Шаблон:Основная статья Пусть <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> — некоторые функции. Тогда бинарное отношение <math>\sim</math> определяется таким образом, что

<math>f(x) \sim g(x) \quad (\text{при } x\to\infty)</math>

если и только если[1]

<math>\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1.</math>

Функции <math>f</math> и <math>g</math> при этом называются асимптотически эквивалентными, так как <math>\sim</math> является отношением эквивалентности для функций над <math>x</math>. Областью определения <math>f</math> и <math>g</math> при этом может быть любое множество, в котором имеет смысл понятие предела: вещественные числа, комплексные числа, натуральные и т. д. Те же обозначения также используются для других предельных ограничений на <math>x</math>, таких как <math>x \to 0</math>. Конкретный предел обычно не указывают если он понятен из контекста.

Определение выше распространено в литературе, однако оно теряет смысл если <math>g(x)</math> принимает значение <math>0</math> бесконечное число раз. Поэтому некоторые авторы используют альтернативное определение в терминах O-нотации:

<math>f(x) - g(x) \in o(g(x)).</math>

Данное определение эквивалентно приведённому выше если <math>g(x)</math> отлично от нуля в некоторой окрестности предельной точки[2][3].

Свойства

Если <math>f \sim g</math> и <math>a \sim b</math>, то при некоторых естественных ограничениях верно следующее:

  • <math>f^r \sim g^r</math>, для любого вещественного <math>r</math>
  • <math>\log(f) \sim \log(g)</math>
  • <math>f\times a \sim g\times b</math>
  • <math>f / a \sim g / b</math>

Указанные свойства позволяют свободно менять асимптотически эквивалентные функции друг на друга в некоторых алгебраических выражениях.

Примеры асимптотических формул

<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
  • Количество способов разбить натуральное число <math>n</math> в неупорядоченную сумму натуральных чисел
<math>p(n)\sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}</math>
  • Функция Эйри <math>Ai(x)</math> — решение дифференциального уравнения <math>y-xy=0</math>
<math>\operatorname{Ai}(x) \sim \frac{e^{-\frac{2}{3} x^\frac{3}{2}}}{2\sqrt{\pi} x^{1/4}}</math>
<math>\begin{align}
 H_\alpha^{(1)}(z) &\sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{ i\left(z - \frac{2\pi\alpha - \pi}{4}\right)} \\
 H_\alpha^{(2)}(z) &\sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{-i\left(z - \frac{2\pi\alpha - \pi}{4}\right)}

\end{align}</math>

Асимптотическое разложение

Шаблон:Main Асимптотическим разложением функции <math>f(x)</math> называют выражение функции в виде ряда, чьи частичные суммы могут не сходиться, но при этом любая частичная сумма даёт правильную асимптотическую оценку <math>f</math>. Таким образом, каждый следующий элемент асимптотического разложения даёт чуть более точное описание порядка роста <math>f</math>. Другими словами, если <math>f=g_1 + g_2 + g_3 + \dots</math> — асимптотическое разложение <math>f</math>, то <math>f \sim g_1,</math> <math>f - g_1 \sim g_2</math> и, в общем случае, <math>f - g_1 - \cdots - g_{k-1} \sim g_{k}</math> для любого <math>k</math>. В соответствии с определением <math>\sim</math> это значит, что <math>f - (g_1 + \cdots + g_k) = o(g_k)</math>, то есть, <math>f - (g_1 + \cdots + g_k)</math> растёт асимптотически значительно медленнее <math>g_k.</math>

Если асимптотическое разложение не сходится, то для любого аргумента <math>x</math> найдётся некоторая частичная сумма, которая наилучшим образом приближает функцию в этой точке, а дальнейшее добавление слагаемых к ней будет лишь уменьшать точность. Как правило, число слагаемых в такой оптимальной сумме будет увеличиваться с приближением к предельной точке.

Примеры асимптотических разложений

<math>\frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots
\ (x \to \infty)</math>
<math>xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \ (x \to \infty) </math>
<math> \sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) \sim 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{n!(2x^2)^n} \ (x \to \infty)</math>
где Шаблон:Math — двойной факториал.

Применения

Асимптотический анализ используется:

Асимптотический анализ является ключевым инструментом изучения дифференциальных уравнений, возникающих в математическом моделировании явлений реального мира[4]. Как правило, применение асимптотического анализа направлено на исследование зависимости модели от некоторого безразмерного параметра, который предполагается пренебрежимо малым в масштабах решаемой задачи.

Асимптотические разложения, как правило, возникают при приближенных вычислениях некоторых интегралов (метод Лапласа, метод перевала) или распределений вероятности (ряд Эджворта). Примером расходящегося асимптотического разложения являются графы Фейнмана в квантовой теории поля.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Harv
  2. ↑ Шаблон:SpringerEOM
  3. ↑ Шаблон:Harvtxt
  4. ↑ Howison, S. (2005), Practical Applied Mathematics Шаблон:Wayback, Cambridge University Press
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Асимптотический_анализ&oldid=9041943