Русская Википедия:Асимптотически нормальная оценка

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Асимптоти́чески норма́льная оце́нка — в математической статистике оценка, распределение которой стремится к нормальному распределению при увеличении размера выборки.

Определение

Пусть <math>X_1,\ldots,X_n,\ldots</math> — выборка из распределения <math>\mathbb{P}_{\theta}</math>, зависящего от параметра <math>\theta \in \Theta</math>.

Точечная оценка <math>\hat{\theta}</math> называется асимптотически нормальной с дисперсией <math> \sigma\ ^2(\theta)</math>, если

<math>\sqrt{n} \left(\hat{\theta} - \theta \right) \to Z</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>,

где <math>Z \sim \mathrm{N}\left(0,\sigma^2(\theta)\right)</math> - нормальная случайная величина.

Замечание

Эквивалентно, оценка <math>\hat{\theta}</math> асимптотически нормальна, если

<math>\frac{\sqrt{n} \left(\hat{\theta} - \theta\right)}{\sigma(\theta)} \to \tilde{Z}</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>,

где <math>\tilde{Z} \sim \mathrm{N}(0,1)</math>.

Свойства

• Асимптотически нормальная оценка <math>\hat{\theta}</math> состоятельна.
• При выполнении достаточно общих технических условий оценка метода моментов асимптотически нормальна.

Примеры

• Пусть <math>X_1,\ldots,X_n,\ldots \sim \mathrm{U}[0,\theta]</math> - выборка из непрерывного равномерного распределения, где <math>\theta > 0</math>. Пусть

<math>\hat{\theta}_1 = 2 \bar{X}</math>,

где <math>\bar{X}</math> - выборочное среднее, а

<math>\hat{\theta}_2 = X_{(n)}</math>,

где <math>X_{(n)} = \max(X_1,\ldots,X_n)</math>. Тогда оценка <math>\hat{\theta}_1</math> является асимптотически нормальной с дисперсией <math>\sigma^2(\theta) = \theta^2/3</math>, а оценка <math>\hat{\theta}_2</math> не является асимптотически нормальной.