Файл:Hyperbolic.svgДве прямые через заданную точку P, асимптотически параллельные прямой R.
В нейтральной или абсолютной геометрии и в геометрии Лобачевского могут иметься много прямых, параллельных данной прямой <math>R</math> и проходящих через точку <math>P</math> вне этой прямой. Однако две параллельные могут быть ближе к <math>R</math>, чем остальные (по одной с каждой стороны).
Имеет смысл в этом случаен дать другое определение параллельности для нейтральной геометрии. Если имеются очень близкие параллельные к данной прямой, их называют асимптотически параллельными или параллельными в пределе.
Для лучей отношение асимптотической параллельности является отношением эквивалентности, которое включает терминальное отношение эквивалентности.
Асимптотические параллельные могут образовывать две или три стороны асимптотического треугольника.
Луч <math>Aa</math> является асимптотически параллельным лучу <math>Bb</math>, если они котерминальны или если они лежат на различных прямых, не равных прямой <math>AB</math>, не пересекаются и любой луч внутри угла <math>BAa</math> пересекает луч <math>Bb</math>Шаблон:Sfn.
Свойства
Различные прямые, содержащие асимптотические параллельные лучи, не пересекаются.
Доказательство
Предположим, что прямые, содержащие различные параллельные лучи, пересекаются. По определению они не могут пересечься на стороне <math>AB</math>, в которой находится луч <math>a</math>. Тогда они должны пересекаться на стороне <math>AB</math>, противоположной лучу <math>a</math>, обозначим эту точку <math>C</math>. Тогда (здесь P = прямой угол) <math> \angle CAB + \angle CBA < 2P \Rightarrow \angle aAB + \angle bBA > 2P </math>. Противоречие.
