Русская Википедия:Асимптотическое разложение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

Определение

Пусть функции <math>\varphi_{n}</math> удовлетворяют свойству: <math>\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \ (x \rightarrow L) \quad \forall n \in \N</math> для некоторой предельной точки <math>L</math> области определения функции f(x). Последовательность функций <math>\varphi_{n}</math>, удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: <math>\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)</math>, для которого выполняются условия :<math>f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L)</math>

или эквивалентно:

<math>f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \ (x \rightarrow L).</math>

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

<math> f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L).</math>

Отличие сходящегося ряда и асимптотического разложения для функции <math>f(x)</math> можно проиллюстрировать так: для сходящегося ряда при любом фиксированном <math>x</math> ряд сходится в значение <math>f(x)</math> при <math>N \rightarrow \infty</math>, тогда как при асимптотическом разложении при фиксированном <math>N</math> ряд сходится в значение <math>f(x)</math> в пределе <math>x \rightarrow L</math> (<math>L</math> может быть и бесконечным).

Асимптотическое разложение Эрдейи

Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)</math> называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность <math>\psi_{n}</math>, что

<math>f(x) - \sum_{n=0}^{N} a_n \varphi_{n}(x) = o(\psi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L).</math>

Этот факт записывается в следующем виде:

<math> f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L) \quad \{\psi_{n}(x)\}.</math>

Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто мало полезна для числовых вычислений и редко используется.

Примеры

• Гамма-функция

<math>\frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots

\  (x \rightarrow \infty)</math>

• Интегральная показательная функция

<math>xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \ (x \rightarrow \infty) </math>

• Дзета-функция Римана

<math>\zeta(s) \sim \sum_{n=1}^{N}n^{-s} - \frac{N^{1-s}}{s-1} - \frac{1}{2}N^{-s} +

N^{-s} \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m} s^{\overline{2m-1}}}{(2m)! N^{2m-1}}</math>
где <math>B_{2m}</math> — числа Бернулли и <math>s^{\overline{2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots(s+2m-2)</math>. Это разложение справедливо для всех комплексных s.

• Функция ошибок

<math> \sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) \sim 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.</math>

• Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит:

<math>\frac{\sin (x)}{x} \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x)^n} \quad (x \rightarrow \infty)\ \{(\log x)^{-n}\}.</math>

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
• Эрдейи А. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., 1962
• Копсон Э. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — Шаблон:М., Мир, 1966.
• Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975