Русская Википедия:Асферическое пространство
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Асферическое пространство — топологическое пространство в котором все гомотопические группы <math>\pi_n(X)</math> кроме <math>n=1</math> тривиальны. Для симплектических многообразий значение термина немного отличается; смотри симплектически асферическое многообразие.
Свойства
- По Шаблон:Iw, CW-комплекс асферичен тогда и только тогда, когда его универсальное накрытие стягиваемо.
- Если конечномерный CW-комплекс асферичен, то его фундаментальная группа не имеет кручения.
- Каждое асферическое пространство <math>X</math> по определению является K(G,1) пространством, где <math>G = \pi_1(X)</math> является фундаментальной группой <math>X</math>. Кроме того, оно является Шаблон:Iw для группы <math>G</math>, рассматриваемой как топологическая группа с дискретной топологией.
- Пусть <math>X</math> асферическое пространство и <math>K</math> — связный CW-комплекс.
- Любое непрерывное отображение из 2-мерного остова <math>K</math> в <math>X</math> может быть продолжено до непрерывного отображения, определённого на всём <math>K</math>.
- Для любого гомоморфизма фундаментальных групп <math>h\colon\pi_1K\to \pi_1X</math> существует непрерывное отображение <math>\varphi\colon K\to X</math>, которое индуцирует <math>h</math>. Более того, <math>\varphi</math> единственно с точностью до гомотопии.
- Прямое произведение асферических пространств асферическое.
Примеры
- Все компактные поверхности кроме сферы и проективной плоскости являются асферическими.
- Тор любой размерности асферичен.
- Любое Шаблон:Iw асферично.
- Болле того, метрические пространства с неположительной кривизной в смысле Александрова (то есть, локально CAT(0) пространства) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана — Адамара.
- Дополнение узла в <math>\mathbb{S}^3</math> является асферическим по теореме о сфере
- Любое нильмногообразие асферично.
- Бесконечномерное линзовое пространство <math>\mathbb{S}^\infty/\mathbb{Z}_p</math> асферично.
См. также
Внешние ссылки
- Aspherical manifolds on the Manifold Atlas.
