Русская Википедия:Атом Крэндолла

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Атом Крэндолла — двухэлектронная задача, допускающая точное решение. Представляет собой электроны, движущиеся в гармоническом потенциале ядра при кулоновском отталкивании между ними. Рассмотрен в работе.

Определение

Используя атомные единицы, постоянная Планка <math>\hbar=1</math>, масса <math>m=1</math>, гамильтониан, определяющий атом Крэндолла запишется в виде

<math>\hat{H} = -\frac{1}{2}(\nabla_1^2+\nabla_2^2)+\frac{\omega^2}{2}(\textbf{r}_1^2+\textbf{r}_2^2)+\frac{\lambda}{(\textbf{r}_1-\textbf{r}_2)^2}</math>

где r₁, r₂ — координаты для частиц с индексом 1 и 2, ω — чистота осциллятора, λ>0 — коэффициент электрон-электронного взаимодействия. Первые два слагаемых представляют собой операторы кинетической и потенциальной энергии для каждого электронов с индексами 1 и 2, а третье слагаемое — это электрон-электронный потенциал, который имеет силу обратную кубу расстояния между частицами.

Решение

Энергия состояния равна

<math>E^{n',l',m'}_{n,l,m}=\frac{\omega}{2}\left(5+4n+4n'+2l'+\sqrt{1+4\lambda+4l(l+1)}\right),</math>

а волновые функции

<math>\psi^{n',l',m'}_{n,l,m}(u,v)=e^{-\frac{1}{2}\omega(\textbf{u}^2+\textbf{v}^2)}u^{'l}v^{a}L_{n'}^{l'+1/2}(\omega u^2)L_{n}^{a+1/2}(\omega v^2)Y_{l',m'}(\theta_u,\phi_u)Y_{l,m}(\theta_v,\phi_v),</math>

где <math>a=\frac{1}{2}(\sqrt{1+4\lambda+4l(l+1)}-1),</math>, L — полиномы Лагерра, Y — сферические гармоники, и новые координаты <math>\textbf{u}=(\textbf{r}_1+\textbf{r}_2)/\sqrt{2},</math> <math>\textbf{v}=(\textbf{r}_1-\textbf{r}_2)/\sqrt{2}.</math>