Русская Википедия:Атом (теория меры)
Шаблон:Значения В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.
Определение
Если есть измеримое пространство <math>(X, \Sigma)</math> и мера <math>\mu</math> на этом пространстве, то множество <math>A</math> из <math>\Sigma</math> называется атомом, если
- <math> \mu (A) >0</math>
и для любого измеримого подмножества <math>B</math> множества <math>A</math> из
- <math> \mu(A) > \mu (B)</math>
следует, что
- <math> \mu(B) = 0.</math>
Примеры
- Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10}, и пусть сигма-алгебра <math>\Sigma</math> есть множество всех подмножеств X. Определим меру <math>\mu</math> множества как его мощность, т. е. количество элементов в нем. Тогда каждое одноточечное подмножество {i} для i = 1, 2, ..., 9, 10 является атомом.
- Мера Лебега на действительной прямой является безатомной.
Безатомные меры
Мера, не содержащая атомов, называется безатомной. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества <math>A</math> с <math> \mu (A) >0</math> существует такое измеримое подмножество B множества A, что
- <math> \mu(A) > \mu (B) > 0.</math>
Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества A с мерой <math> \mu (A) >0</math> можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств
- <math>A=A_1\supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots</math>
такую, что
- <math>\mu(A)=\mu(A_1) > \mu(A_2) > \mu(A_3) > \cdots > 0. </math>
Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).
На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ является безатомной мерой, а A — это измеримое множество с <math>\mu (A) >0,</math> то для любого действительного числа b, удовлетворяющего условию
- <math>\mu (A) \geq b \geq0</math>
существует измеримое подмножество B множества A, такое, что
- <math>\mu(B)=b.</math>
Эта теорема была доказана Вацлавом Серпинским. [1] [2] Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.
Набросок доказательства теоремы Серпинского для безатомных мер. Используем слегка более сильное утверждение: если есть безатомное измеримое пространство <math>(X,\Sigma, \mu)</math> и <math>\mu(X)=c</math>, то существует функция <math>S:[0, c]\to\Sigma</math>, задающая однопараметрическое семейство измеримых множеств S(t), таких что для всех <math>0\leq t \leq t'\leq c</math>
- <math>S(t)\subset S(t'),</math>
- <math>\mu\left (S(t)\right)=t.</math>
Доказательство легко следует из леммы Цорна, применённой к множеству
- <math>\Gamma:=\{S:D\to\Sigma\; :\; D\subset[0,\,c],\, S\; \mathrm{ monotone }, \forall t\in D\; (\mu\left (S(t)\right)=t)\},</math>
упорядоченному по включению графиков. Далее стандартным образом показывается, что всякая цепь в <math>\Gamma</math> имеет максимальный элемент, а любой максимальный элемент <math>\Gamma</math> имеет область определения <math>[0,c]</math>, что и доказывает утверждение.
См. также
- Дельта-функция Дирака
- Элементарные события, известные также как события-атомы
Ссылки
- ↑ W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et continues Шаблон:Wayback. Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
- ↑ Шаблон:Книга
