Русская Википедия:Аффинная дифференциальная геометрия
Шаблон:Плохой перевод Аффинная дифференциальная геометрия — это тип дифференциальной геометрии, в котором дифференциальные инварианты инвариантны относительно сохраняющих объем аффинных преобразований. Название аффинная дифференциальная геометрия следует из эрлангенской программы Феликса Клейна. Основное различие между аффинной и Римановой дифференциальными геометриями состоит в том, что в аффинном случае мы вводим форму объёма над многообразием вместо метрики.
Предварительное исследование
Здесь мы рассматриваем простейший случай, то есть многообразия коразмерности один. Пусть Шаблон:Nowrap будет n-мерным многообразием, и пусть ξ — векторное поле на Шаблон:Math трансверсальное к Шаблон:Math такое, что Шаблон:Nowrap для всех Шаблон:Nowrap где ⊕ обозначает прямую сумму, а Span — линейную оболочку.
Для гладкого многообразия, скажем N, пусть Ψ(N) обозначает модуль гладких векторных полей над N. Пусть Шаблон:Nowrap будет стандартной ковариантной производной на Rn+1 где Шаблон:Nowrap Мы можем разложить DXY на компонент, касательный к M, и поперечный компонент — параллельные к ξ. Это дает уравнение Гаусса: Шаблон:Nowrap где Шаблон:Nowrap — индуцированная связность на M и Шаблон:Nowrap является билинейной формой. Обратите внимание, что ∇ и h зависят от выбора поперечного векторного поля ξ. Мы рассматриваем только те гиперповерхности, для которых h является Шаблон:Iw. Это свойство гиперповерхности M и не зависит от выбора поперечного векторного поля ξ.[1] Если h невырожден, мы говорим, что M невырожден. В случае кривых на плоскости невырожденные кривые — это кривые без перегибов. В случае поверхностей в трехмерном пространстве невырожденные поверхности — это поверхности без Шаблон:Iw.
Мы также можем рассматривать производную ξ в некотором касательном направлении, скажем X. Эта величина, DXξ, может быть разложена на составляющую, касательную к M, и поперечную составляющую, параллельную ξ. Это дает уравнение Шаблон:Iw: Шаблон:Nowrap Тензор типа-(1,1) Шаблон:Nowrap называется оператором аффинной формы, дифференциальная одноформа Шаблон:Nowrap называется формой поперечной связности. Опять же, и S, и τ зависят от выбора поперечного векторного поля ξ.
Первая форма индуцированного объема
Пусть Шаблон:Nowrap будет формой объёма, определенной на Rn+1. Мы можем индуктировать форму объема на M, заданную через Шаблон:Nowrap заданную через Шаблон:Nowrap Естественное определение: в Евклидовой дифференциальной геометрии, где ξ — Евклидова единичная нормаль, следует что стандартный евклидов объём охватываемый X1,…,Xn всегда равен ω(X1,…,Xn). Отметим, что ω зависит от выбора поперечного векторного поля ξ.
Вторая форма индуцированного объема
Для касательных векторов X1,…,Xn пусть Шаблон:Nowrap будет Шаблон:Nowrap заданной через Шаблон:Nowrap Мы определяем форму второго объёма на M, задаваемую Шаблон:Nowrap где Шаблон:Nowrap Опять же, это естественное определение. Если M = Rn и h евклидово скалярное произведение, то ν(X1,…,Xn) всегда является стандартным евклидовым объемом, охватываемым векторами X1,…,Xn. Поскольку h зависит от выбора поперечного векторного поля ξ, отсюда следует, что ν тоже.
Два естественных условия
Мы ставим два естественных условия. Во-первых, индуцированная связь ∇ и индуцированная форма объема ω совместимы, то есть ω ≡ 0. Это означает, что Шаблон:Nowrap для всех Шаблон:Nowrap Другими словами, если мы параллельно переносим векторы X1,…,Xn вдоль некоторой кривой в M относительно связи ∇, тогда объем, охватываемый X1,…,Xn по отношению к форме объема ω не изменяется. Прямое вычисление[1] показывает, что Шаблон:Nowrap и поэтому Шаблон:Nowrap для всех Шаблон:Nowrap, если и только если, τ ≡ 0, то есть Шаблон:Nowrap для всех Шаблон:Nowrap Это означает, что производная ξ, в касательном направлении X относительно D всегда дает, возможно, нулевой касательный вектор к M. Второе условие состоит в том, что две формы объема ω и ν совпадают, то есть Шаблон:Nowrap
Вывод
Можно показать[1], что существует, с точностью до знака, единственный выбор поперечного векторного поля ξ, для которого два условия: Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap удовлетворены. Эти два специальных поперечных векторных поля называются аффинными нормальными векторными полями, или иногда называемые нормальными полями Бляшке.[2] Из его зависимости от формы объема для его определения мы видим, что аффинное нормальное векторное поле инвариантно относительно сохраняющих объем аффинных преобразований. Эти преобразования задаются как Шаблон:Nowrap где SL(n+1,R) обозначает специальную линейную группу матриц Шаблон:Nowrap с действительными элементами и определителем 1, а ⋉ обозначает полупрямое произведение. Шаблон:Nowrap образует группу Ли.
Аффинная нормальная линия
Аффинная нормальная линия в точке Шаблон:Nowrap — это прямая, проходящая через p и параллельная ξ.
Плоские кривые
Аффинное нормальное векторное поле для кривой на плоскости имеет красивую геометрическую интерпретацию.[2] Пусть Шаблон:Nowrap будет открытым интервалом и пусть Шаблон:Nowrap будет гладкой параметризацией плоской кривой. Мы предполагаем, что γ(I) — невырожденная кривая (в значениях Номизу и Сасаки[1]), то есть не имеет точек перегиба. Рассмотрим точку Шаблон:Nowrap на плоской кривой. Поскольку γ(I) не имеет точек перегиба, следует, что γ(t0) не является точкой перегиба, и поэтому кривая будет локально выпуклой,[3] то есть все точки γ(t) с Шаблон:Nowrap для достаточно малых ε , будут лежать на той же стороне касательной к γ(I) в γ(t0).
Пусть γ(t0) — касательная к γ(I) и пусть ближайшие параллельные прямые на стороне касательной содержат часть кривой Шаблон:Nowrap Для параллельных прямых, достаточно близких к касательной, они будут пересекать P ровно в двух точках. На каждой параллельной прямой мы отмечаем середину отрезка, соединяющего эти две точки пересечения. Для каждой параллельной прямой получаем середину, и таким образом геометрическое место точек средних точек очерчивает кривую, начинающуюся в p. Предельная касательная к геометрическому пространству средних точек по мере приближения к p — это аффинная нормальная линия, то есть прямая, содержащая вектор аффинной нормали к γ(I) в точке γ(t0). Обратите внимание, что это аффинная инвариантная конструкция, поскольку параллелизм и середины инвариантны относительно аффинных преобразований.
Рассмотрим параболу, заданную параметризацией Шаблон:Nowrap. У этого есть уравнение Шаблон:Nowrap Касательная в точке γ(0) имеет уравнение Шаблон:Nowrap, и таким образом параллельные прямые заданы Шаблон:Nowrap для достаточно малых Шаблон:Nowrap Линия Шаблон:Nowrap пересекает кривую в точке Шаблон:Nowrap Расположение средних точек задается выражением Шаблон:Nowrap Это образует отрезок прямой, и поэтому предельная касательная к этому отрезку прямой, когда мы стремимся к γ(0), — это как раз линия, содержащая этот отрезок, то есть прямая Шаблон:Nowrap В этом случае аффинная нормальная линия к кривой в точке γ(0) имеет уравнение Шаблон:Nowrap Фактически, прямое вычисление показывает, что аффинный вектор нормали в точке γ(0), а именно ξ(0), задается формулой Шаблон:Nowrap[4] На рисунке красная кривая — это кривая γ, черные линии — это касательная линия и некоторые соседние касательные линии, черные точки — это середины отображаемых линий, а синяя линия — это геометрическое место средних точек.
Поверхности в трёхмерном пространстве
Похожий аналог существует для нахождения аффинной нормальной прямой в Шаблон:Iw гладких поверхностей в трёхмерном пространстве. На этот раз берутся плоскости, параллельные касательной. Это, для плоскостей достаточно близких к касательной плоскости, пересекает поверхность чтобы образовать выпуклые плоские кривые. Каждая выпуклая плоская кривая имеет центр масс. Геометрическое место центров масс очерчивают кривую в трёхмерном пространстве. Предельная касательная к этому геометрическому множеству, когда геометрическое место центров масс стремится к исходной точке поверхности, является аффинной нормальной линией, то есть линией, содержащей вектор аффинной нормали.
См. также
Примечания
Шаблон:Примечания Шаблон:Изолированная статья
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Шаблон:Citation
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Citation
- ↑ Шаблон:Citation
- ↑ Davis, D. (2006), Generic Affine Differential Geometry of Curves in Rn, Proc. Royal Soc. Edinburgh, 136A, 1195−1205.
