Русская Википедия:Аффинная длина

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Аффи́нная длина́ — параметр плоской кривой, который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях, сохраняющих площадь).

Определение

Для плоской кривой <math>\gamma\colon [a,b]\to \mathbb R^2</math> аффинная длина вычисляется по формуле

<math>l=\int\limits_a^b|\dot\gamma(t)\times\ddot\gamma(t)|^{1/3} dt,</math>

где <math>\times</math> обозначает векторное произведение, а <math>\dot\gamma(t)</math> и <math>\ddot\gamma(t)</math> — первую и вторую производную.

Частные случаи

• Аффинная длина графика <math>y=f(x)</math> функции <math>f</math> задаётся как

  <math>

l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|f(x)|} dx, </math>

• Для кривой <math>\gamma(s)</math> с натуральным параметром и кривизной <math>\varkappa(s)</math>

  <math>

l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt[3]{|\varkappa(s)|} ds. </math>

Свойства

• Аффинная длина дуги параболы равна <math>2\sqrt[3]S,</math> где S есть площадь треугольника, образованного хордой дуги и касательными к параболе в концах дуги.
• Среди выпуклых замкнутых кривых с фиксированной аффинной длиной эллипсы (и только они) ограничивают наименьшую площадь.

Вариации и обобщения

Существуют также обобщения аффинной длины на случай пространственных кривых и для общей аффинной группы, а также других её подгрупп.

Литература

• Л. Фейеш Тот, Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, М., Физматлит, 1958. — 364 с.