Русская Википедия:Аффинная комбинация

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Аффинная комбинация — линейная комбинация заданных векторов <math>x_1, \dots, x_n</math> векторного пространства <math>V</math> над полем <math>F</math>:

<math> \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} x_{i}} = \alpha_{1} x_{1} + \alpha_{2} x_{2} + \cdots +\alpha_{n} x_{n}</math>,

сумма коэффициентов в которой равна 1, то есть:

<math>\sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i}}=1</math>.

Операция взятия аффинной комбинации коммутирует с любым аффинным преобразованием <math>T</math> в том смысле, что:

<math> T\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} x_{i}} = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} Tx_{i}}</math>.

В частности, любая аффинная комбинация неподвижных точек заданного аффинного преобразования <math>T</math> является также неподвижной точкой <math>T</math>, так что множество неподвижных точек <math>T</math> образует аффинное подпространство (в трёхмерном пространстве: прямая или плоскость, а в тривиальных случаях, точка или всё пространство).

Когда стохастическая матрица <math>A</math> действует на вектор-столбец <math>B</math>, результатом будет вектор-столбец, элементы которого являются аффинными комбинациями элементов <math>B</math> с коэффициентами из строк матрицы <math>A</math>.

Специализация понятия — выпуклая комбинация, для которой дополнительно требуется неотрицательность скалярных коэффициентов в линейной комбинации.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Notes on affine combinations.