Русская Википедия:Аффинная эквивалентность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Нет ссылок Два множества <math>A,B \in \mathbb{R}^{n}</math> называются аффинно эквивалентными, если существует аффинное преобразование <math>f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}</math>, переводящее <math>A</math> в <math>B</math>, т.е. <math>f(A) = B </math>.

Аффинная эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств <math>\mathcal P(\mathbb{R}^{n})</math> множества <math>\mathbb{R}^{n}</math> и, в частности, на любом подмножестве <math>X \subset\mathcal P(\mathbb{R}^{n})</math>.

Например, если <math>X \subset\mathcal P(\mathbb{R}^{2})</math> —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то аффинная эквивалентность разбивает его на четыре класса эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные коники:

•    <math>x^2+y^2\,=1</math>  — вещественная единичная окружность;
•    <math>x^2-y^2\,=1</math>  — равнобочная гипербола;
•    <math>y=x^2</math>  — стандартная парабола;
•    <math>x^2+y^2\,=-1</math>  — мнимая окружность.

Другими словами, аффинная эквивалентность доставляет аффинную классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости аффинно эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

См. также

• Изометрическая эквивалентность
• Классификации кубик Ньютона
• Аффинная классификация кубик