Русская Википедия:Аффинное многообразие

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Аффинное многообразие — гладкое многообразие, обладающее атласом, в котором все отображения склейки являются аффинным. Эквивалентно, многообразие является аффинным, если оно допускает плоскую связность без кручения.

Связанные определения

• Аффинное многообразие называется полным, если его универсальное накрытие гомеоморфно <math>{\mathbb R}^n</math>.

• Фундаментальная группа компактного полного плоского аффинного многообразия называется аффинной кристаллографической группой. Классификация аффинных кристаллографических групп далека от решения.

Примеры

• <math>\mathbb{S}^n\times \mathbb{S}^1</math> является фактором <math>\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\}</math> по группе, образованной гомотетией <math>x\mapsto 2\cdot x</math>, следовательно, является компактным не полным аффинным многообразием.

Гипотезы

В геометрии аффинных многообразий есть несколько древних гипотез. Большинство из них доказано в малой размерности и некоторых других особых случаях.

• Гипотеза Маркуса (1962), утверждает, что компактное аффинное многообразие является полным тогда и только тогда, когда оно имеет параллельную форму объёма.
• Гипотеза Ауслендера (1964), утверждает, что любая аффинная кристаллографическая группа содержит полициклическую подгруппу конечного индекса.
• Шаблон:Iw (1955), утверждает, что эйлерова характеристика любого компактного аффинного многообразия равна нулю.