Русская Википедия:Банахова алгебра
Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:
- <math> \forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\| </math>.
Это свойство требуется для непрерывности операции умножения относительно нормы.
Банахова алгебра называется унитальной или банаховой алгеброй с единицей, если она обладает единицей (то есть таким элементом <math>\mathbf{1}</math>, что для всех <math>x \in A</math> справедливо <math>x\mathbf{1}=\mathbf{1} x=x </math>). При этом обычно требуют, чтобы норма единицы была равна 1. Если единица существует, то она единственна. Всякую банахову алгебру <math>A</math> можно изометрически вложить в соответствующую ей унитальную банахову алгебру <math>A_e</math> в качестве замкнутого двустороннего идеала.
Банахова алгебра называется коммутативной, если операция умножения в ней коммутативна.
Примеры
- Поля комплексных чисел или действительных чисел — <math>\mathbb{C}</math> и <math>\mathbb{R}</math> относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
- Алгебры комплексных или действительных матриц относительно матричного умножения и субмультипликативной матричной нормы.
- Алгебра кватернионов является действительной алгеброй с нормой — модулем.
- <math>C( \Omega )</math> — алгебра непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример — <math>C_0( \Omega )</math> — пространство исчезающих на бесконечности комплекснозначных функций, где <math>\Omega</math> — локально компактное пространство.
- Алгебра ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве, относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Множество компактных операторов относительно тех же операций является замкнутым идеалом в этой алгебре.
- Если <math>G</math> — локально компактная хаусдорфова топологическая группа с мерой Хаара <math>\mu</math>, то банахово пространство <math>L_1(G)</math> интегрируемых относительно меры <math>\mu</math> комплекснозначных функций на <math>G</math> является банаховой алгеброй относительно умножения-свёртки, определяемой по формуле
- <math>(xy)(g) = \int_G x(h) y(h^{-1}g) \, \mathrm{d}\mu(h), \; g \in G</math>.
- <math>L_1(\mathbb R)</math> — алгебра суммируемых на прямой функций со сверткой в качестве умножения. Это частный случай предыдущего примера.
- C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой: <math>\forall a \ ||a^*a||=||a||^2</math>
Свойства
Некоторые элементарные функции можно при помощи степенных рядов определить для элементов банаховой алгебры. В частности, можно определить экспоненту элемента банаховой алгебры, тригонометрические функции, и, в общем случае, любую целую функцию. Для элементов банаховой алгебры остаётся справедливой формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряд Неймана).
Множество обратимых элементов <math>\mathrm{Inv}(A)</math> алгебры <math>A</math> является открытым множеством. При этом отображение <math>\mathrm{Inv}</math>, сопоставляющее каждому обратимому элементу обратный, является гомеоморфизмом. Таким образом, <math>\mathrm{Inv}(A)</math> — топологическая группа.
В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором: <math>xy - yx \ne \mathbf{1}</math> для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что <math>\lambda \mathbf{1}, \ \lambda \ne 0</math> также не является коммутатором.
Справедлива теорема Гельфанда-Мазура: каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы, изоморфна <math>\mathbb{C}</math>.
Спектральная теория
В унитальных банаховых алгебрах вводится понятие спектра, которое расширяет понятие спектра оператора на более общий класс объектов.
Элемент <math>a \in A</math> алгебры <math>A</math> называется обратимым, если найдется такой элемент <math>a^{-1} \in A</math>, что <math>aa^{-1}=a^{-1}a=\mathbf{1}</math>. Спектром <math> \sigma(a) </math> элемента <math>a</math> называется множество таких <math>\lambda \in \mathbb{C},</math> что элемент <math>a-\lambda \mathbf{1}</math> необратим. Спектр всякого элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. С другой стороны, для любого компакта <math>K \subset \mathbb{C}</math> спектр элемента <math>w</math> из алгебры <math>C(K)</math>, определяемого по формуле <math>w(z)=z</math>, совпадает с <math>K</math>, поэтому других ограничений на спектр элемента в произвольной банаховой алгебре нет.
Спектральным радиусом <math>\mathrm{r}(x)</math> элемента <math>x \in A</math> называется величина
- <math>\mathrm{r}(x) = \sup \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}</math>.
Справедлива формула Бёрлинга-Гельфанда для спектрального радиуса:
- <math>\mathrm{r}(x) = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.</math>
Резольвентным множеством элемента <math>a \in A</math> называется множество <math>\rho(a) = \mathbb{C} \setminus \sigma(a)</math>. Резольвентное множество элемента банаховой алгебры всегда открыто. Резольвентой элемента <math>a \in A</math> называется функция комплексной переменной <math>R_a \colon \rho(a) \to A</math>, определяемая формулой <math>R_a(\lambda) = (\lambda\mathbf{1} - a)^{-1}</math>. Резольвента элемента банаховой алгебры является голоморфной функцией.
Если <math>f</math> — голоморфная в окрестности <math>D \subset \mathbb{C}</math> спектра <math>\sigma(a)</math> функция, можно определить <math>f(a) \in A</math> по формуле
- <math>f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma f(\lambda) R_a(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda</math>,
где <math>\gamma</math> — спрямляемый жорданов контур, лежащий в <math>D</math>, содержащий спектр элемента <math>x</math> и ориентированный положительно, а <math>R_a</math> — резольвента элемента <math>a</math>. В частности, при помощи этой формулы можно определить экспоненту элемента из банаховой алгебры.
Идеалы и характеры
Пусть A — унитальная коммутативная банахова алгебра над полем комплексных чисел. Характером χ алгебры A называется ненулевой линейный функционал, обладающий свойством мультипликативности: для любых a, b ∈ A справедливо χ(ab) = χ(a)χ(b) и χ(1) = 1. То есть характер — это ненулевой гомоморфизм алгебр A и <math>\mathbb{C}</math>. Можно проверить, что всякий характер в банаховой алгебре непрерывен и его норма равна 1.
Ядро характера представляет собой максимальный идеал в A. Если <math>\mathfrak{m}</math> — максимальный идеал, то факторалгебра <math>A/\mathfrak{m}</math> является полем и банаховой алгеброй, тогда, по теореме Гельфанда-Мазура, она изоморфна <math>\mathbb{C}</math>. Поэтому каждому максимальному идеалу <math>\mathfrak{m}</math> можно поставить в соответствие единственный характер χ такой, что ker χ = <math>\mathfrak{m}</math>. Этот характер определяется как композиция факторотображения и изоморфизма <math>A/\mathfrak{m}</math> в <math>\mathbb{C}</math>. Таким образом между множеством характеров и множеством максимальных идеалов установлена биекция.
Множество всех характеров называется пространством максимальных идеалов или спектром алгебры A и обозначается Spec A. Это множество можно наделить топологией, унаследованной от слабой* топологии (топологии поточечной сходимости) в сопряженном пространстве A*. Из теоремы Банаха-Алаоглу и замкнутости Spec A следует, что Spec A — компактное хаусдорфово топологическое пространство.
Преобразованием Гельфанда элемента <math>a</math> алгебры A называется непрерывная функция <math>\hat{a} \colon \mathrm{Spec}\, A \to \mathbb{C}</math>, определяемая по формуле <math>\hat{a}(\chi) = \chi(a)</math> для всех характеров χ. Преобразование Гельфанда осуществляет сжимающий гомоморфизм алгебры A в алгебру C(Spec A) непрерывных функций на компакте.
Радикалом алгебры A называется пересечение всех её максимальных идеалов. Если радикал состоит только из нуля, алгебра A называется полупростой. Ядро преобразования Гельфанда совпадает с радикалом алгебры, поэтому преобразование Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда алгебра A полупроста. Таким образом, всякая полупростая коммутативная банахова алгебра с единицей совпадает с точностью до изоморфизма с некоторой алгеброй функций, непрерывных на компакте — с образом преобразования Гельфанда.
Литература
