Русская Википедия:Барицентрические координаты
Шаблон:Не путать Шаблон:Значения Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).
Точечный базис (иногда используется[1] термин «базис барицентрических координат») в <math>n</math>-мерном аффинном пространстве <math>A</math> представляет собой систему из <math>(n+1)</math>-й точки <math>P_0, P_1, \ldots, P_n</math>, которые предполагаются аффинно независимыми (т. е. не лежат в <math>(n-1)</math>-мерном подпространстве рассматриваемого пространства).
Определение
Пусть <math>P</math> есть произвольная точка в <math>A</math>. Каждая точка <math>M\in A</math> может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации
- <math>M = P + \alpha_0\cdot\overrightarrow{PP}_0+\alpha_1\cdot\overrightarrow{PP}_1+\ldots+\alpha_n\cdot\overrightarrow{PP}_n;</math>
барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа <math>\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n</math> (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию
- <math>\alpha_0+\alpha_1+\ldots+\alpha_n=1.</math>
Числа <math>\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n</math> и называются барицентрическими координатами точки <math>M</math>. Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора <math>P</math>.
Записанное выше равенство в символике барицентрического исчисления может быть переписано так:
- <math>M = \alpha_0 P_0 + \alpha_1 P_1 + \ldots + \alpha_n P_n.</math>
Свойства
- Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
- Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в <math>P_0, P_1, \ldots, P_n</math> неотрицательны и их сумма равна единице.
- Обращение в нуль барицентрической координаты <math>\alpha_i</math> равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине <math>P_i</math>. Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.
- В барицентрических координатах изотомическое сопряжение двух точек внутри треугольника задаётся формулой <math>(x:y:z)\mapsto(x^{-1}:y^{-1}:z^{-1})</math>. В связи с этим, барицентрические координаты часто бывают удобны при работе с изотомическим сопряжением.
- Для точки <math>X</math>, лежащей внутри треугольника <math>ABC</math>, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников <math>(S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX})</math>.
- Барицентрические координаты тесно связаны с трилинейными координатами. А именно, если <math>(\alpha:\beta:\gamma)</math> — барицентрические координаты точки <math>X</math> относительно треугольника <math>ABC</math>, а <math>a, b, c</math> — длины его сторон, то
- <math>(x:y:z)=\left(\frac{\alpha}{a}:\frac{\beta}{b}:\frac{\gamma}{c}\right)</math>
- её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.
- Точка <math>M</math> является центром масс грузиков с массами <math>\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n</math>, расположенных в точках <math>P_0, P_1, \ldots, P_n</math>.
История
Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 г.Шаблон:Sfn
Примечания
Литература
См. также
Шаблон:Перевести
Шаблон:Системы координат
- ↑ Шаблон:Книга — C. 197.
