Барицентри́ческое подразделе́ниесимплициального комплекса — определённый тип подразделения комплекса на более мелкие симплексы.
Определение
Барицентрическое подразделение симплициального комплекса <math>K</math> есть симплициальный комплекс <math>K'</math>, получающийся заменой симплексов комплекса <math>K</math> на более мелкие путём следующего процесса:
каждый одномерный симплекс (отрезок) делится пополам;
в предположении, что все симплексы размерности <math>\leqslant n-1</math> уже подразделены, разбиение любого n-мерного симплекса <math>\Delta</math> определяется посредством конусов над симплексами барицентрического подразделения границы <math>\Delta</math> с вершиной в барицентре симплекса <math>\Delta</math>.
Свойства
Вершины барицентрического подразделения находятся во взаимно однозначном соответствии с симплексами исходного комплекса <math>K</math>.
Симплексы комплекса барицентрического подразделения находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными по включению конечными наборами симплексов из <math>K</math>.
В частности, если <math>K</math> — n-мерный комплекс, то вершины его барицентрического подразбиения <math>K'</math> допускают раскраску в <math>n+1</math> цвет (по одному цвету на размерность соответствующего симплекса в <math>K</math>) такую, что вершины соединённые ребром имеют разные цвета.
Диаметр каждого симплекса барицентрического подразделения некоторого n-мерного симплекса не превосходит произведение диаметра исходного симплекса на <math>\tfrac{n}{n+1}</math>.
В частности, повторяя операцию барицентрического подразделения, можно сколь угодно сильно уменьшить диаметр каждого симплекса в конечном комплексе.
