Русская Википедия:Бассейны Ньютона
Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — разновидность алгебраических фракталов.
Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости)[1].
Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру:
- <math>z_{n+1}=z_n-\frac{f(z_n)}{f'(z_n)}.</math>
Выбор начального приближения <math>z_0</math> представляет особый интерес. Так как функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям. Однако, какие именно области обеспечат сходимость к тому или иному корню?
История
Этот вопрос заинтересовал Артура Кэли ещё в 1879 году, однако разрешить его смогли лишь в 70-х годах двадцатого столетия с появлением вычислительной техники. Оказалось, что на пересечениях этих областей (их принято называть областями притяжения) образуются так называемые фракталы — бесконечные самоподобные геометрические фигуры.
Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам, фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона.
Три корня
Рассмотрим уравнение:
- <math>p(z)=0</math>, <math>p(z)=z^3-1</math>
Оно имеет три корня. При выборе различных <math>z_0</math> процесс будет сходиться к различным корням (областям притяжения). Артур Кэли поставил задачу описания этих областей, границы которых, как оказалось, имеют фрактальную структуру.
Построение
По следующей формуле:
- <math>z_{i+1} = z_i-\frac{p(z_i)}{p'(z_i)}=z_i-\frac{z_i^3-1}{3\,z_i^2}</math>
Масштабирование
Если переместить центр экрана в точку <math>z_0</math>и произвести масштабирование (<math>z = z_0 + \cfrac{Z}{\alpha}</math>), то вместо подстановки <math>z</math> в многочлен <math>P(z)</math>, можно изменить сам многочлен. Так как <math>z_{n+1} = F(z_n) => (z_0+\cfrac{Z_{n+1}}{\alpha}) = F(z_0 + \cfrac{Z_n}{\alpha}) </math>, а <math>F(z) = z-\cfrac{p(z)}{p'(z)} => F(z_0 + \cfrac{Z_n}{\alpha}) = z_0 + \cfrac{Z_n}{\alpha} - \cfrac{p(z(Z))}{p'_z(z(Z))}</math>, то <math>Z_{n+1} = Z_n+\alpha\cdot \cfrac{p(z(Z_n)}{p'_z(z(Z_n)}</math>. Так как <math>p'_Z(z(Z)) = p'_z(z(Z))\cdot z'_Z(Z) = \cfrac{p'_z(z(Z))}{\alpha}</math>, то <math>p'_z(z(Z)) = \alpha \cdot p'_Z(z(Z))</math>.
Тогда
<math>Z_{n+1} = Z_n+\cfrac{p(z(Z_n)}{p'_Z(z(Z_n)}</math>, считая новый многочлен <math>P(Z) = p(z(Z))</math>, получаем <math>Z_{n+1} = Z_n+\cfrac{P(Z_n)}{P'(Z_n)}</math>
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
- Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
- Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
- Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
- Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
- Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
- Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 109—111.
- Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 248—251.
Примечания
Ссылки
