Автор целого ряда построек, в основном, в стиле русской классической архитектурной школы и в стиле модерн, оказавших значительное влияние на архитектурный облик города Харькова, а также целого ряда построек в других городах.
Учился в Харьковском реальном училище, а также в частной художественной школе М. Д. Раевской-Ивановой. Получил высшее образование на архитектурном факультете Академии художеств в Санкт-Петербурге, у профессоров Д. И. Гримма и А. И. Кракау в 1882—1888 годах. Работал в те же годы у известного петербургского архитектора М. Е. Месмахера, участвуя в проектах дворца Великого князя Михаила Михайловича, здания архива Государственного совета и других. Окончил Академию с золотой медалью, защитив дипломный проект на тему: «Вокзал при морских купальнях на Чёрном море»[3].
Звание академика архитектуры получил в 1894 году за проект здания Общественной библиотеки на полтора миллиона томов, с 1921 года носящей имя Короленко, крупнейшей библиотеки Восточной Украины.
Бекетов воспитал поколение молодых украинских, русских и советских архитекторов, которые учились в технологическом (ХПИ), институте искусств (ХХПИ), инженерно-строительном (ХИСИ) и институте инженеров коммунального хозяйства (ХИИКС) в Харькове. Среди его учеников архитекторы А. Н. Душкин, Я. Г. Лихтенберг, В. Г. Кричевский.
Был женат на дочери украинского горнопромышленника Алексея АлчевскогоАнне (1868—1931), которая была художницей. Зять просветительницы Христины Алчевской, промышленника Алексея Алчевского и их детей — композитора Григория; оперного тенора, солиста МариинкиИвана; поэтессы Христины. У Алексея и Анны было четверо детей: Кристина 1890 г.р. (у неё был сын Алексей), Николай 1891 г.р. (двое его детей в Канаде, одна дочь в Англии), Мария 1893 г.р. и Елена 1895 г.р. — у Елены сыновья Фёдор 1932 г.р. (у него дочь Ирина 1966 г.р. и Елена 1970 г.р. — у Ирины дочь Ирина, сыновья Николай и Андрей) и Владимир 1935 г.р. (у него дочь Елена 1971 г.р.).
Другим интересным зданием — украшением города обещало стать новое здание Харьковского университета, которому к концу 1930-х годов стало тесно в стенах бывшего Губернаторского дворца. Архитектор получил право на возведение нового здания ХГУ. Но и этот проект не был осуществлён из-за войны[4] — теперь уже другой.
Мироносицкий переулок (сейчас вошёл в улицу Жён Мироносиц) в начале XX века стал как бы личным алчевско-бекетовским: земельные участки принадлежали промышленнику Алчевскому, зять же их обустраивал особняками. Там находились его особняк (дом 10, 1900, ныне Дом учёных); усадьба Алчевских (дом 13, 1893, ныне ДК МВД); сад Алчевских; воскресная школа Алчевской (дом 9, 1896, теперь — выставочный зал Художественного музея). Также Бекетовым там были построены ещё два здания — 11 (частный особняк, 1912, потом Совнарком Украины, давший название всей улице; ныне Художественный музей), и службы усадьбы. После финансового краха и последовавшего самоубийства либо убийства тестя Бекетова в мае 1901 года после него остались большие долги. Тёща Бекетова продала усадьбу с садом, а архитектор вынужден был продать свой особняк Южно-русскому обществу автомобилистов[5] и затем построил себе двухэтажный дом 37 в самом конце Садово-Куликовской улицы, над Журавлёвскими склонами, где участки были дешевле и место не престижное. Сам архитектор с семьёй жил на втором этаже, а нижний сдавал. Среди жильцов были художник М. Р. Пестриков, а уже при Советской власти, в 1930-х годах — баталист Николай Самокиш. На этой небольшой улице Бекетов построил пять зданий: 9, 21, 23, 37, …
В той же до- и послереволюционной квартире архитектора на Садово-Куликовской (улица Дарвина) до сих пор проживают его внуки, в частности, Ф. Рофе-Бекетов. Им также принадлежит флигель при даче Алексея Бекетова в Алуште (в самой даче сейчас расположен музей Алексея Николаевича)[4]. История этой крымской дачи такова: отец, проживавший в Санкт-Петербурге, разделил свой алуштинский участок и подарил половину сыну[4], где тот и начал в 1895 году рядом с отцовской, купленной ещё в 1870-х годах, строить свою дачу в мавританском стиле.
Праправнучка Бекетова в 2008 году ходила в школу № 1 по улице Манизера, 12, первый корпус которой, выходящий на Дарвина (дом 13), построил в 1896 году её прапрадед.
Архитектор участвовал в конкурсе на сооружение здания Госпрома, но его традиционный «бекетовский» проект из-за «старомодности» не смог конкурировать с молодыми архитекторами конструктивизма[4].
Бекетов был неплохим художником-пейзажистом. Его картины имеются в частных коллекциях[4].
Часть музея ХИИКСа (ул. Маршала Бажанова) посвящена Бекетову.
Приказом Министерства образования и науки Украины № 464 от 25 апреля 2013 года Харьковскому национальному университету городского хозяйства (ранее ХИИКС, где он занимался преподавательской работой), присвоено имя А. Н. Бекетова.
Ясієвич В. Є. Бекетов Олексій Миколайович — український архітектор і педагог / В. Є. Ясієвич // Мистецтво України : енциклопедія. — К., 1995. — С. 174.Шаблон:Ref-uk
