Русская Википедия:Бесконечная группа
Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов, в противоположность конечным группам. Первое исследование бесконечных групп восходит к Жордану (1870).Шаблон:Нет АИ
Топологические группы
Бесконечные группы часто предполагаются топологическими — то есть снабжёнными топологией, согласованной с операциями умножения и взятия обратного элемента. В таком случае можно выделить два противоположных подкласса групп — дискретные группы и связные группы. Примером дискретной бесконечной группы является бесконечная циклическая группа <math>\mathbb Z</math> с естественной, то есть дискретной, топологией. Примером связной бесконечной группы является <math>\mathbb R^n</math> (<math>\mathbb C^n</math>) — конечномерное векторное пространство на вещественными (или комплексными) числами.
При этом «дискретная часть» топологической группы — то есть группа её компонент связности — является дискретной (не обязательно бесконечной) группой, в то время как её «непрерывная часть» — компонента связности единицы группы — является связной (и также не обязательно бесконечной) группой. Сама группа не полностью определяется «дискретной» и «непрерывной» компонентами, а именно не обязательно является их прямым произведением. Например, группа рациональных чисел вполне несвязна, а потому её «непрерывная часть» тривиальна, но группа не изоморфна своей «дискретной части» — счётна, но не дискретна. Аналогичным свойством обладает любая проконечная группа.
Группы Ли
Часто используемый класс бесконечных топологических групп — это группы Ли размерности больше 0. Нестрого говоря, это группы, локально выглядящие как конечномерное вещественное (или комплексное) векторное пространство (размерности больше 0). Строгое определение использует понятие гладкого или алгебраического многообразия: на группе должна быть введена структура такого многообразия, так что операции умножения и взятия обратного элемента согласованы с этой структурой.
Примеры групп Ли (и гладких, и алгебраических одновременно) — это общая линейная группа <math>GL_n(\mathbb R)</math>, то есть группа вещественных матриц <math>n</math> на <math>n</math> с ненулевым определителем, и её подгруппа специальная ортогональная группа <math>SO_n(\mathbb R)</math>, состоящая из ортогональных матриц с определителем 1.
При этом «дискретная часть» группы Ли (группа её компонент связности), обязательно конечна, в то время как «непрерывная часть» (компонента связности единицы) группы Ли размерности больше 0, напротив, бесконечна. Тем не менее, группа Ли не обязательно является их полупрямым произведением[1].
С физической точки зрения
Элементы многих бесконечных групп, встречающихся в физике, нумеруются вещественными параметрами, изменяющимися непрерывно. Каждый элемент g n-параметрической бесконечной группы можно записать в виде: <math>g(x_1, x_2, x_3, ..., x_n)</math>, где <math>x_1, x_2, x_3, ..., x_n</math> — n вещественных чисел. Для бесконечной группы отсутствует таблица Кэли. Если <math>g(x)g(y)=g(z)</math>, то n параметров <math>z_1, z_2, z_3, ..., z_n</math> являются функциями от параметров <math>x_1, x_2, x_3, ..., x_n, y_1, y_2, y_3, ..., y_n,</math>. Таким образом, аналогом таблицы Кэли для бесконечной группы является набор из n вещественных функций, каждая из которых зависит от 2n вещественных переменных <math>z=f(x,y)</math>. Элементы бесконечной группы должны удовлетворять четырём обычным условиям принадлежности к группе:
- Произведение <math>g(x)g(y)</math> любых двух элементов группы должно быть элементом группы.
- Умножение элементов ассоциативно: <math>[g(x)g(y)]g(z)=g(x)[g(y)g(z)]</math>.
- Имеется единичный элемент группы g(1), так что для всех g(x) выполняется <math>g(1)g(x)=g(x)g(1)=g(x)</math>
- Каждый элемент имеет единственный обратный, те для каждого g(x) имеется единственный элемент группы <math>g(x_{-1})</math>, такой что <math>g(x)g(x_{-1})=g(x_{-1})g(x)=g(1)</math>.
Из требования (2), выраженного через функции f(x, y), следует, что равенство <math>f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))</math> выполняется для всех x, y, z.
Например, преобразования Лоренца образуют бесконечную группу. Элементы этой группы нумеруются вещественным параметром — скоростью инерциальной системы отсчёта. Произведение двух преобразований Лоренца с параметрами <math>u_1</math> и <math>u_2</math> есть преобразование Лоренца с параметром <math>u=\frac{u_1+u_2}{1+\frac{u_1 u_2}{c^2}}</math> — релятивистский закон сложения скоростей.[2]
Вращения твёрдого тела вокруг всевозможных осей, проходящих через некоторую фиксированную точку, образуют бесконечную группу вращений. Элементы этой группы <math>C_{k} \left ( \varphi \right )</math> нумеруются набором вещественных чисел — углами Эйлера.[3]
См. также
Примечания
Литература
- Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. — Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
- Шаблон:Книга
Ссылки
- А. В. Михалёв, А. П. Мишина, «Бесконечные абелевы группы: методы и результаты», Фундамент. и прикл. матем., 1:2 (1995), 319—375
- А. Ю. Ольшанский, А. Л. Шмелькин, «Бесконечные группы», Алгебра — 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 37, ВИНИТИ, М., 1989, 5—113
- М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, «Бесконечные группы», Итоги науки. Сер. Мат. Алгебра. Топол. Геом. 1966, ВИНИТИ, М., 1968, 57-90
- А. Л. Шмелькин, «Абстрактная теория бесконечных групп», Итоги науки. Сер. Мат. Алгебра. 1964, ВИНИТИ, М., 1966, 47—82
- ↑ Lie Group Decomposition as Semidirect Product of Connected and Discrete Groups Шаблон:Wayback // Math.StackExchange
- ↑ Любарский Г. Я. Теория групп и физика. — М., Наука, 1986. — c. 95
- ↑ Любарский Г. Я. Теория групп и физика. — М., Наука, 1986. — c. 70-71
