Русская Википедия:Бесконечномерное пространство
Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью. Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа. Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства, наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам[1].
Определение
Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа <math>N > 0</math> в нем найдется линейно независимая система, состоящая из <math>N</math> векторовШаблон:Sfn[2].
Базис
Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса. Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.
Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера. Система элементов <math>\left \{ e_{k} \right \}</math> образует базис Шаудера пространства <math>E</math>, если каждый элемент <math>x \in E</math> представим единственным образом в виде сходящегося ряда <math>x = \sum_{k=1}^{\infty}c_{k}e_{k}</math>Шаблон:Sfn. Базис Шаудера существует не всегда.
Примеры
- Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функцийШаблон:Sfn.
- Гильбертово пространство, образованное бесконечной последовательностью чисел <math>x = ( \xi_{1}, ..., \xi_{k}, ... )</math> со сходящейся суммой квадратов <math>\sum_{n=1}^{\infty}\xi_{n}^{2} < \infty </math>Шаблон:Sfn.
- Множество всех многочленовШаблон:Sfn.
- Фазовое пространство в статистической физике является почти бесконечномерным.[3]
- Пространство квадратично-суммируемых последовательностей
Свойства
- Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерномуШаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Функциональный анализ // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 613-615
- ↑ Шикин Е. В. Линейные пространства и отображения. — М., МГУ, 1987. — с. 17
- ↑ Манин Ю.И. Математика как метафора. — М., МЦНМО, 2008. — ISBN 978-5-94057-287-9. — с. 148
