Русская Википедия:Бесконечно делимое распределение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение

Случайная величина <math>Y</math> называется бесконечно делимой, если для любого <math>n \in \mathbb{N}</math> она может быть представлена в виде

<math>Y = \sum\limits_{i=1}^n X^{(n)}_i</math>,

где <math>\left\{X_i^{(n)}\right\}_{i=1}^n</math> — независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

• Характеристическая функция <math>\phi_Y(t)</math> бесконечно делимой случайной величины <math>Y</math> имеет вид:

<math>\phi_Y(t) = \phi^n_{X^{(n)}}(t)</math>.

• Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
• Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
• Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

Теорема Колмогорова

Для того, чтобы функция распределения <math>\Phi(x)</math> c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции <math>\phi(t)</math> имел вид:

<math>\ln \phi(t) = i \gamma t + \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{itx} - 1 - itx}{x^2} dG(x) </math>,

где <math>\gamma</math> — вещественная постоянная, а <math>G(x)</math> — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина

Пусть <math>\phi(t)</math> — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на <math>\mathbb{R}</math>. Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации <math>G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, такая что

<math>\ln \phi(t) = i \delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itu} - 1 - \frac{itu}{1+u^2}\right)\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u)</math>

Примеры

• Следующие распределения бесконечно делимы: распределение Коши, распределение Пуассона, нормальное распределение, гамма-распределение.

• Пусть задано вероятностное пространство <math>(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m)</math>, где

<math>m(n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}</math>

для некоторого <math>\lambda > 0</math>. Тогда случайная величина <math>X:\mathbb{N} \to \mathbb{R}</math>, имеющая вид

<math>X(n) = n,\quad n \in \mathbb{N}</math>

не является бесконечно делимой.

Бесконечно делимое распределение на локально компактных абелевых группах

Распределение <math>\mu</math> на локально компактной абелевой группе <math>X</math> называется бесконечно делимым, если для каждого натурального <math>n</math> существует элемент <math>x_n\in X</math> и распределение <math>\mu_n</math> на <math>X</math> такой, что <math>\mu=\mu_n^{*n}*E_{x_n}</math>, где <math>E_{x_n}</math> - вырожденное распределение, сосредоточенное в <math>x_n</math> (см. , ).

Примерами бесконечно делимых распределений на локально компактных абелевых группах являются вырожденные распределения, сдвиги распределений Хаара компактных подгрупп, обобщенные распределения Пуассона.

См. также

• Устойчивое распределение.

Литература

• Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей, М., Наука, 1965, 400 стр.