Русская Википедия:Бета-распределение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Вероятностное распределение {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}</math>|

 cdf        =<math>I_x(\alpha,\beta)</math>|
 mean       =<math>\frac{\alpha}{\alpha+\beta}</math>|
 median     =|
 mode       =<math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}</math> для <math>\alpha>1, \beta>1</math>|
 variance   =<math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>|
 skewness   =<math>\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}</math>|
 kurtosis   =<math>6\,\frac{\alpha^3-\alpha^2(2\beta-1)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)}

{\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}</math>|

 entropy    =|
 mgf        =<math>1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>|
 char       =<math>{}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)</math>|

}}

Бе́та-распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Определение

Пусть распределение случайной величины <math>X</math> задаётся плотностью вероятности <math>f_X</math>, имеющей вид:

<math>f_X(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)}\, x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta - 1}</math>,

где

• <math>\alpha, \beta > 0</math> произвольные фиксированные параметры, и
• <math>\mathrm{B}(\alpha,\beta) = \int\limits_0^1 x^{\alpha - 1} (1-x)^{\beta - 1}\, dx</math> — бета-функция.

Тогда случайная величина <math>X</math> имеет бета-распределение. Пишут: <math>X\!\sim \mathrm{B}(\alpha,\beta)</math>.

Форма графика

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>.

• <math>\alpha < 1,\ \beta < 1</math> — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
• <math>\alpha < 1,\ \beta \geq 1</math> или <math>\alpha = 1,\ \beta > 1</math> — график строго убывающий (синяя кривая)
  • <math>\alpha = 1,\ \beta > 2</math> — график строго выпуклый;
  • <math>\alpha = 1,\ \beta = 2</math> — график является прямой линией;
  • <math>\alpha = 1,\ 1 < \beta < 2</math> — график строго вогнутый;
• <math>\alpha = 1,\ \beta = 1</math> график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
• <math>\alpha = 1,\ \beta < 1</math> или <math>\alpha > 1,\ \beta \leq 1</math> — график строго возрастающий (зелёная кривая);
  • <math>\alpha > 2,\ \beta = 1</math> — график строго выпуклый;
  • <math>\alpha = 2,\ \beta = 1</math> — график является прямой линией;
  • <math>1 < \alpha < 2,\ \beta = 1</math> — график строго вогнутый;
• <math>\alpha > 1,\ \beta > 1</math> — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда <math>\alpha = \beta</math>, плотность вероятности симметрична относительно <math>1/2</math> (красная и пурпурная кривые), то есть

<math>f_X(1/2-x) = f_X(1/2+x),\; x\in [0,1/2]</math>.

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины <math>X</math>, имеющей бета-распределение, имеют вид:

<math>\mathbb{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} </math>,

<math>\mathrm{D}[X] = \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>.

Связь с другими распределениями

• Бета-распределение является распределением Пирсона типа IШаблон:Sfn.
• Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:

  <math>\mathrm{U}[0,1] \equiv \mathrm{B}(1,1)</math>.

• Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений.
• Если <math>X,Y</math> — независимые гамма-распределённые случайные величины, причём <math>X \sim \mathrm{\Gamma}(\alpha,1)</math>, а <math>Y \sim \mathrm{\Gamma}(\beta,1)</math>, то

  <math>\frac{X}{X+Y} \sim \mathrm{B}(\alpha, \beta)</math> .

Литература

• Шаблон:Книга