Русская Википедия:Бета-функция Дирихле
Бе́та-фу́нкция Дирихле́ (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugène Charles Catalan).
Бета-функция Дирихле определяется как[1]
- <math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} \; ,</math>
или, эквивалентным образом, через интегральное представление
- <math>\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx \; ,</math>
где Γ(s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0.
Связь с другими функциями
Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s:
- <math>\beta(s) = 4^{-s} \left[ \zeta\left(s,\tfrac{1}{4}\right)-\zeta\left( s, \tfrac{3}{4}\right) \right]\; .</math>
Бета-функция Дирихле также связана с Шаблон:Iw (Шаблон:Lang-en),
- <math>\beta(s) = 2^{-s} \Phi\left(-1,s, \tfrac{1}{2}\right) \; .</math>
Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s[2].
Функциональное соотношение
Соотношение между β(s) и β(1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0),
- <math>\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s)
\cos\left(\tfrac{1}{2}\pi s\right)\,\beta(1-s) \; ,</math>
где Γ(s) — гамма-функция Эйлера.
Частные значения
Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя
- <math>\beta(0)\;=\;\tfrac{1}{2}, </math>
- <math>\beta(1)\;=\;\tfrac{1}{4}\pi, </math>
- <math>\beta(2)\;=\;G,</math>
- <math>\beta(3)\;=\;\tfrac{1}{32} \pi^3,</math>
- <math>\beta(4)\;=\;\tfrac{1}{768}\left[ \psi_3\left(\tfrac{1}{4}\right)-8\pi^4 \right],</math>
- <math>\beta(5)\;=\;\tfrac{5}{1536} \pi^5,</math>
- <math>\beta(7)\;=\;\tfrac{61}{184320} \pi^7,</math>
- <math>\beta(9)\;=\;\tfrac{1385}{41287680} \pi^9,</math>
где G — постоянная Каталана, а <math>{\textstyle {\psi_3(\frac{1}{4})} }</math> — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка).
В общем случае для любого положительного целого k
- <math>\beta(2k)=\frac{1}{2^{4k} (2k-1)!} \left[\psi_{2k-1}\left(\tfrac{1}{4}\right)-\psi_{2k-1}\left(\tfrac{3}{4}\right) \right], </math>
- <math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}}, </math>
где <math>\psi_{2k-1}(z)\equiv\psi^{(2k-1)}(z)</math> — полигамма-функция порядка (2k-1), а E2k — числа Эйлера[3].
Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем
- <math>\beta(-2k)= \tfrac{1}{2} E_{2k} \; ,</math>
- <math>\beta(-2k-1)= 0 \; ,</math>
то есть β(s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции)[2].
Приблизительные значения
| s | приблизительное значение β(s) | OEIS |
|---|---|---|
| 1Шаблон:!!0.7853981633974483096156608Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C | ||
| 2Шаблон:!!0.9159655941772190150546035Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C | ||
| 3Шаблон:!!0.9689461462593693804836348Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C | ||
| 4Шаблон:!!0.9889445517411053361084226Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C | ||
| 5Шаблон:!!0.9961578280770880640063194Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C | ||
| 6Шаблон:!!0.9986852222184381354416008Шаблон:!!Шаблон:OEIS2C | ||
| 7Шаблон:!!0.9995545078905399094963465Шаблон:!! | ||
| 8Шаблон:!!0.9998499902468296563380671Шаблон:!! | ||
| 9Шаблон:!!0.9999496841872200898213589Шаблон:!! | ||
| 10Шаблон:!!0.9999831640261968774055407Шаблон:!! |
Производная бета-функции Дирихле
Для некоторых целых значений аргумента s производная β'(s) может быть вычислена аналитически[2],
- <math>\beta^\prime(-1)= \frac{2G}\pi\; ,</math>
- <math>\beta^\prime(0) = \ln\left(\frac{\Gamma^2(\tfrac{1}{4})}{2\pi\sqrt2}\right)\; ,</math>
- <math>\beta^\prime(1) = \frac{\pi}4\left(\gamma+2\ln2+3\ln\pi-4\ln\Gamma(\tfrac14)\right)\; ,</math>
(см. также OEIS Шаблон:OEIS2C и Шаблон:OEIS2C).
Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы[2]
- <math>\beta^\prime(n) = -\sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{(4k+1)^{1/(4k+1)^n}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^n}}\right)\; .</math>
См. также
Примечания
Литература
- J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
- Шаблон:MathWorld
