Русская Википедия:Бигармоническая функция
Бигармоническая функция — функция <math>f(x) = f(x_1,\dots,x_n)</math> действительных переменных, определённая в области D евклидового пространства <math>\R^n,\, n \geq 2</math>, имеющая непрерывные частные производные 4-го порядка включительно, и удовлетворяющая в D уравнению:
- <math>\nabla^4f= \Delta^2 f = 0</math>
где <math>\nabla</math> — оператор набла, <math>\Delta</math> — оператор Лапласа.
Данное уравнение называется бигармоническим уравнением. В декартовой системе координат в случае трёх переменных уравнение имеет вид:
- <math>\frac{\partial^4 f}{ \partial x^4 } + \frac{\partial^4 f}{ \partial y^4 } + \frac{\partial^4 f}{ \partial z^4 }+ 2\frac{\partial^4 f}{ \partial x^2\partial y^2}+ 2\frac{\partial^4 f}{ \partial y^2\partial z^2}+ 2\frac{\partial^4 f}{ \partial x^2\partial z^2} = 0. </math>
- <math>\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right)\right)\right) + \frac{2}{r^2} \frac{\partial^4 f}{\partial \theta^2 \partial r^2} + \frac{1}{r^4} \frac{\partial^4 f}{\partial \theta^4} - \frac{2}{r^3} \frac{\partial^3 f}{\partial \theta^2 \partial r} + \frac{4}{r^4} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = 0.</math>
Класс бигармонических функций включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая бигармоническая функция является аналитической функцией координат xi.
Наибольшее значение с точки зрения практических применений имеют бигармонические функции <math>f(x_1,x_2)</math> двух переменных. Такие бигармонические функции записываются с помощью гармонических функций f1, f2 или g1, g2 в виде
- <math>f(x_1,x_2) = x_1 f_1(x_1,x_2) + f_2(x_1,x_2)</math>
или
- <math>f(x_1,x_2) = (r^2 - r_0^2) g_1(x_1,x_2) + g_2(x_1,x_2)</math>
где <math>r^2=x_1^2 + x_2^2,</math> а <math>r_0^2</math> — константа.
Основная краевая задача для бигармонических функций заключается в следующем: найти бигармоническую функцию в области D, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области <math>\bar D = D \cup C</math> , удовлетворяющую на границе C условиям
- <math>f |_C = f_1(s), \quad \frac{\partial f}{\partial \nu} \Bigg|_C = f_2(s)</math>
где <math>\frac{\partial f}{\partial \nu}</math> — производная по нормали до C, f1(s), f2(s) — заданные непрерывные функции длины дуги s на контуре C.
Указанные выше представления бигармонических функций позволяют получить решения краевой задачи в явному виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонических функций.
Бигармонические функции двух переменных допускают также запись
- <math>f(x_1,x_2) = \operatorname{Re}(\bar z \phi(z) + \psi(z)) = \frac{1}{2} ( \bar z \phi(z) + z\overline { \phi(z)} + \psi(z) + \overline {\psi(z)}), \quad \bar z = x_1 - ix_2</math>
с помощью двух аналитических функций <math>\phi(z), \psi(z)</math> комплексной переменной <math>z = x_1 + ix_2</math>. Это представление позволяет свести краевую задачу для произвольной области D к системе краевых задач для аналитических функций, метод решения которой детально разработан Р. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении разных плоских задач теории упругости, в которых основным бигармоническими функциями являются функция напряжений и функция Эйри.
См. также
Ссылки
Литература
- Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
- Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;
- Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.
