Русская Википедия:Билинейное преобразование
Шаблон:Не путать Шаблон:Не путать Билине́йное преобразова́ние (или преим. в зап. литературе преобразование Та́стина (англ.: Tustin’s method transformation)) — конформное отображение, используемое для преобразования передаточной функции <math> H_a(s) \ </math> линейной стационарной системы (например, корректирующего звена системы управления, электронного фильтра и т. п.) непрерывной формы в передаточную функцию <math> H_d(z) \ </math> линейной системы в дискретной форме.
Оно отображает точки <math> j \omega \ </math>-оси, <math> Re[s]=0 \ </math>, на s-плоскости в окружность единичного радиуса, <math> |z| = 1 \ </math>, на z-плоскости.
Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть, для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичными фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.
Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При применении преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:
<math>z \ </math> <math> = e^{sT} \ </math> <math> = \frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}} \ </math> <math> \approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} \ ,</math>
где <math> T \ </math> — период дискретизации (обратная к частоте дискретизации величина).
Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.
Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом:
<math>s \ </math> <math> = \frac{1}{T} \ln(z) \ </math> <math> = \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5 + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \ldots \right] \ </math> <math> \approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \approx \ </math> <math> \approx \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \ .</math>
Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции <math> H_a(s) \ </math> на её дискретный аналог:
- <math>s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \ ,</math>
то есть:
- <math>H_d(z) = H_a(s) \bigg|_{s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}}= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1} \right) \ .</math>
Билинейное преобразование — частный случай преобразования Мёбиуса, определяемого как:
- <math>z^{\prime} = \frac{a z + b}{c z + d} \ .</math>
Источники
1Шаблон:Недоступная ссылка на с. 47
2 глава 3.2.2 Метод билинейного преобразования
