Русская Википедия:Биметрические теории гравитации
Биметрические теория гравитации — альтернативные теории гравитации, в которых вместо одного метрического тензора используются два или более. Часто вторая метрика вводится только при высоких энергиях, в предположении, что скорость света может зависеть от энергии. Наиболее известными примерами биметрических теорий являются теория Розена и релятивистская теория гравитации (последняя — в канонической трактовке).
Биметрическая теория Розена
В общей теории относительности предполагается, что расстояние между двумя точками в пространстве-времени определяется метрическим тензором. Уравнения Эйнштейна используются затем для расчёта формы метрики на основании распределения энергии.
Натан Розен (1940) предложил в каждой точке пространства-времени ввести в дополнение к риманову метрическому тензору <math>g_{ij}</math> евклидов метрический тензор <math>\gamma_{ij}</math> . Таким образом, в каждой точке пространства-времени мы получаем две метрики:
- <math> ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}</math>
- <math> d\sigma^{2}=\gamma_{ij} dx^{i} dx^{j}</math>
Первый метрический тензор <math>g_{ij}</math> описывает геометрию пространства-времени и, таким образом, гравитационное поле. Второй метрический тензор <math>\gamma_{ij}</math> относится к плоскому пространству-времени и описывает инерционные силы. Символы Кристоффеля, сформированные из <math>g_{ij}</math> и <math>\gamma_{ij}</math>, обозначим <math>\{^{i}_{jk}\}</math> и <math>\Gamma^{i}_{jk}</math> соответственно. <math>\Delta</math> определим таким образом, чтобы
- <math>
\Delta^{i}_{jk}=\{^{i}_{jk}\}-\Gamma^{i}_{jk}02:00, 5 августа 2023 (+04)02:00, 5 августа 2023 (+04)EducationBot (обсуждение) 02:00, 5 августа 2023 (+04)(1) </math>
Теперь возникают два вида ковариантного дифференцирования: <math>g</math>-дифференцирование, основанное на <math>g_{ij}</math> — обозначается точкой с запятой (;), и 3-дифференцирование на основе <math>\gamma_{ij}</math> — обозначается символом / (обычные частные производные обозначаются запятой (,)). <math>R^{\lambda}_{ij \sigma}</math> и <math>P^{\lambda}_{ij \sigma}</math> будут тензорами кривизны, рассчитываемыми из <math>g_{ij}</math> и <math>\gamma_{ij}</math> соответственно. На основе вышеизложенного подхода, в том случае, когда <math>\gamma_{ij}</math> описывает плоскую пространственно-временную метрику, тензор кривизны <math>P^{\lambda}_{ij \sigma}</math> равен нулю.
Из (1) следует, что хотя <math>\{^{i}_{jk}\}</math> и <math>\Gamma</math> не являются тензорами, но <math>\Delta</math> — тензор, имеющий такую же форму, как <math>\{^{i}_{jk}\}</math>, за исключением того, что обычная частная производная заменяется 3-ковариантной производной. Простой расчёт приводит к
- <math>
R^{h}_{ijk}=-\Delta^{h}_{ij/k}+\Delta^{h}_{ik/j}+\Delta^{h}_{mj}\Delta^{m}_{ik}-\Delta^{h}_{mk}\Delta^{m}_{ij} </math>
Каждый член в правой стороне этого соотношения является тензором. Видно, что от общей теории относительности, можно перейти к новой теории, заменив <math>\{^{i}_{jk}\}</math> на <math>\Delta</math>, обычное дифференцирование на 3-ковариантное дифференцирование, <math>\sqrt {-g}</math> на <math>\sqrt{\frac{g}{\gamma}}</math>, элемент интегрирования <math>d^{4}x</math> на <math>\sqrt {-\gamma}d^{4}x</math>, где <math>g = det(g_{ij})</math>, <math>\gamma = det(\gamma_{ij})</math> и <math>d^{4}x = dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}</math>. Необходимо отметить, что, как только мы ввели <math>\gamma_{ij}</math> в теорию, то в нашем распоряжении оказывается большое число новых тензоров и скаляров. Таким образом, можно получить уравнения поля, отличающиеся от уравнений поля Эйнштейна.
Уравнение для геодезической в биметрической теории относительности (БТО) принимает форму
- <math>
\frac{d^2x}{ds^2}+\Gamma^{i}_{jk}\frac{dx^{j}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}+\Delta^{i}_{jk}\frac{dx^{j}}{ds}\frac{dx^{k}}{ds}=002:00, 5 августа 2023 (+04)02:00, 5 августа 2023 (+04)EducationBot (обсуждение) 02:00, 5 августа 2023 (+04)(2) </math>
Из уравнений (1) и (2) видно, что можно считать, что <math>\Gamma</math> описывает инерциальное поле, поскольку <math>\Gamma</math> исчезает при помощи подходящего преобразования координат. Свойство же <math>\Delta</math> быть тензором не зависит от каких-либо систем координат, и, следовательно, можно полагать, что <math>\Delta</math> описывает постоянное гравитационное поле.
Розеном (1973) были найдены биметрические теории, удовлетворяющие принципу эквивалентности. В 1966 г. Розен показал, что введение плоской пространственной метрики в рамках общей теории относительности не только позволяет получить плотность энергии-импульса тензора гравитационного поля, но также позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Уравнение поля в БТО, полученное из вариационного принципа
- <math>
K^{i}_{j}= N^{i}_{j}-\frac{1}{2}\delta^{i}_{j}N = -8 \pi \kappa T^{i}_{j}02:00, 5 августа 2023 (+04)02:00, 5 августа 2023 (+04)EducationBot (обсуждение) 02:00, 5 августа 2023 (+04)(3) </math>
где
- <math>
N^{i}_{j}=\frac{1}{2}\gamma^{\alpha \beta}(g^{hi} g_{hj /\alpha})_{/ \beta} </math>
или
- <math>
N^{i}_{j}= \gamma^{\alpha \beta}\left\{(g^{hi}g_{hj, \alpha}),\beta - (g^{hi}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\alpha}),\beta\right\} - \gamma^{\alpha \beta}(\Gamma^{i}_{j\alpha}),\beta + \Gamma^{i}_{\lambda \beta}[g^{h\lambda}g_{hj},\alpha - g^{h\lambda}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\alpha} - \Gamma^{\lambda}_{j\alpha}]-\Gamma^{\lambda}_{j\beta}[g^{hi}g_{h\lambda},\alpha - g^{hi}g_{m\lambda}\Gamma^{m}_{h\alpha} -\Gamma^{i}_{\lambda\alpha}] </math>
- <math>
+ \Gamma^{\lambda}_{\alpha \beta}[g^{hi}g_{hj},\lambda - g^{hi}g_{mj}\Gamma^{m}_{h\lambda} -\Gamma^{i}_{j\lambda}] </math>
- <math>
N= g^{ij}N_{ij}, \kappa=\sqrt{\frac{g}{\gamma}}, </math>
и <math>T^{i}_{j}</math> — тензор энергии-импульса. Вариационный принцип приводит также к связи
- <math>
T^{i}_{j;i}=0. </math>
Поэтому из (3)
- <math>
K^{i}_{j;i}=0, </math>
что подразумевает, что пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической по отношению к <math>g_{ij}</math>. Физические следствия такой теории, впрочем, не отличаются от общей теории относительности.
При ином выборе исходных уравнений биметрические теории и ОТО различаются в следующих случаях:
- Распространение электромагнитных волн
- Внешнее поле звёзд высокой плотности
- Распространение интенсивных гравитационных волн через сильное статическое гравитационное поле.
Ссылки
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:СтатьяШаблон:Недоступная ссылка
- Шаблон:СтатьяШаблон:Недоступная ссылка
Шаблон:ВС Шаблон:Теории гравитации Шаблон:Космология
