Русская Википедия:Бинарная группа тетраэдра
В математике бинарная группа тетраэдра (обозначается как 2T или <2,3,3>) — это некоторая неабелева группа 24-го порядка. Группа является расширением тетраэдральной группы T (или (2,3,3)) 12-го порядка циклической группы 2-го порядка и является прообразом группы тетраэдра для 2:1 Шаблон:Не переведено 5 <math>\operatorname{Spin}(3) \to \operatorname{SO}(3)</math> специальной ортогональной группы спинорной группой. Отсюда следует, что бинарная группа тетраэдра — дискретная подгруппа группы Spin(3) 24-го порядка.
Бинарную группу тетраэдра проще всего описать как дискретную подгруппу единиц кватернионов при изоморфизме <math>\operatorname{Spin}(3) \cong \operatorname{Sp}(1)</math>, где Sp(1) — мультипликативная группа единиц кватернионов (см. описание этого гомоморфизма в статье кватернионы и вращение пространства).
Элементы
Бинарная группа тетраэдра задается как группа единиц в кольце целых чисел Гурвица. Имеется 24 такие единицы
- <math>\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}</math>
с любой комбинацией знаков.
Все 24 единицы по абсолютному значению равны 1 и поэтому находятся в группе единиц кватернионов Sp(1). Выпуклая оболочка этих 24 элементов в 4-мерном пространстве образует выпуклый правильный 4-мерный многогранник, называемый Шаблон:Не переведено 5.
Свойства
Бинарная группа тетраэдра 2T укладывается в короткую точную последовательность
- <math>1\to\{\pm 1\}\to 2T\to T \to 1.</math>
Эта последовательность не Шаблон:Не переведено 5 в том смысле, что 2T не является полупрямым произведением {±1} на T. Фактически не существует подгруппы 2T изоморфной T.
Бинарная группа тетраэдра является Шаблон:Не переведено 5 тетраэдральной группы. Если рассматривать тетраэдральную группу как знакопеременную группу четырёх букв <math>T \cong A_4</math>, бинарная группа тетраэдра будет накрывающей группой <math>2T \cong \widehat{A_4}.</math>
Центром группы 2T является подгруппа {±1}. Шаблон:Не переведено 5 изоморфна <math>A_4</math>, а полная группа автоморфизмов изоморфна <math>S_4</math>[1].
Бинарная группа тетраэдра может быть записана как полупрямое произведение
- <math>2T=Q\rtimes\mathbb Z_3</math>
где Q — группа кватернионов, состоящая из 8 единиц Липшица и Z3, циклическая группа 3-го порядка, образованная ω = −½(1+i+j+k). Группа Z3 работает на нормальной подгруппе Q как сопряжение. Сопряжение относительно ω — это автоморфизм Q, который циклически вращает i, j и k.
Можно показать, что бинарная группа тетраэдра изоморфна линейной группе SL(2,3) — группе всех 2×2 матриц над конечным полем F3 с единичным детерминантом.
Задание группы
Группа 2T имеет задание, определяемое формулой
- <math>\langle r,s,t \mid r^2 = s^3 = t^3 = rst \rangle</math>,
что эквивалентно
- <math>\langle s,t \mid (st)^2 = s^3 = t^3 \rangle.</math>
Генераторы задаются формулой
- <math>s = \tfrac{1}{2}(1+i+j+k) \qquad t = \tfrac{1}{2}(1+i+j-k).</math>
Подгруппы
Группа кватернионов, состоящая из 8 единиц Липшица, образует нормальную подгруппу 2T с индексом 3. Эта группа и центр {±1} являются единственными нетривиальными нормальными подгруппами.
Все остальные подгруппы группы 2T являются циклическими группами порядка 3, 4 и 6, образованными различными элементами.
Большие размерности
Поскольку тетраэдральная группа обобщается до группы симметрий вращений n-симплекса (как подгруппы SO(n)), существует соответствующая бинарная группа большего порядка, которая является накрытием 2-многообразия, получаемая из накрытия <math>\operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n).</math>
Группа вращательной симметрии n-симплекса может быть представлена как знакопеременная группа из <math>n+1</math> букв, <math>A_{n+1},</math> и соответствующая бинарная группа является Шаблон:Не переведено 5 2-многообразия. Для всех больших размерностей, за исключением <math>A_6</math> и <math>A_7</math> (соответствующих 5-мерным и 6-мерным симплексам), эта бинарная группа является Шаблон:Не переведено 5 (максимальной накрывающей) и Шаблон:Не переведено 5, но для размерностей 5 и 6 существует дополнительное особое накрытие 3-многообразия и бинарные группы не являются сверхсовершенными.
Использование в теоретической физике
Бинарная группа тетраэдра использована в контексте теории Янга — Миллса в 1956 году Янгом ЧжэньнинШаблон:Sfn. Она впервые использована для построения физической модели Полем Фрэмптоном и Томасом Кефартом в 1994 году Шаблон:Sfn. В 2012 году показаноШаблон:Sfn, что связь между углами разлёта нейтрино, полученнаяШаблон:Sfn с помощью бинарной тетраэдральной симметрии, согласуется с теорией.
См. также
- Шаблон:Не переведено 5
- Бинарная циклическая группа
- Шаблон:Не переведено 5
- Шаблон:Не переведено 5
- Бинарная группа икосаэдра
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга 6.5 The binary polyhedral groups, p. 68
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
.svg){kind=link}
