Русская Википедия:Биномиальное преобразование
Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием ЭйлераШаблон:Переход, которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.
Определение
Биномиальное преобразование <math>T</math> последовательности <math>{a_n}</math> в последовательность <math>{s_n}</math> имеет вид
- <math>s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k}a_k.</math>
Введём <math>(Ta)_n = s_n</math>, где <math>T</math> — оператор, имеющий бесконечную размерность и состоящий из элементов матрицы <math>T_{nk}.</math>
Оператор <math>T</math> обладает свойством инволюции:
- <math>TT=1</math> или в иных обозначениях <math>\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}</math>,
- где
- <math>\delta</math> — символ Кронекера.
- где
Изначальный ряд может быть восстановлен по правилу
- <math>a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k.</math>
Биномиальные преобразования последовательностей представляют собой n знакопеременных конечных разностей:
- <math>s_0 = a_0</math>;
- <math>s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0</math>;
- <math>s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0</math>;
- <math>\ldots</math>
- <math>s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0,</math>
- где
- <math>\triangle</math> — оператор дифференцирования: <math> \Delta_h(f(x)) = f(x + h) - f(x). </math>
- где
Пример
Биномиальные преобразования можно увидеть в таблицах, например, в данной:
| 0 | 1 | 10 | 63 | 324 | 1485 | |||||
| 1 | 9 | 53 | 261 | 1161 | ||||||
| 8 | 44 | 208 | 900 | |||||||
| 36 | 164 | 692 | ||||||||
| 128 | 528 | |||||||||
| 400 |
Верхняя строка (0, 1, 10, 63, 324, 1485) определяется формулой <math>3^{n-2}(2n^2+n)</math>, которая является биномиальным преобразованием диагонали (0, 1, 8, 36, 128, 400), которая в свою очередь, определяется формулой <math>n^22^{n-1}</math>
Сдвиг
Биномиальный оператор является оператором сдвига для чисел Белла <math>B_i</math>:
- <math>B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k</math>
Простые производящие функции
Биномиальное преобразование производящей функцией последовательности связано с теорией рядов.
Пусть <math> \left \{ \begin{matrix} f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \\ g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n \end{matrix} \right. </math>
Тогда
Преобразование Эйлера
Соотношение между простыми производящими функциями иногда называют преобразованием Эйлера, которое используется, например, для ускорения сходимости знакопеременных рядов. Если подставить <math>x=\frac {1} {2}</math> в Шаблон:Eqref, то получим
- <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}}</math>,
что сходится гораздо быстрее изначального ряда.
Можно обобщить это преобразование до вида при <math>p\in \mathbb{N}</math>
- <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n} a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n}\frac {\Delta^n a_0} {2^{n+p+1}}.</math>
Преобразование Эйлера также применяется к гипергеометрической функции <math>_2F_1</math>, получая
- <math>_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right).</math>
Биномиальные преобразования, а в частности и преобразование Эйлера, связаны с цепными дробями. Пусть <math>0 < x < 1</math> имеет цепную дробь <math>x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots]</math>.
Тогда
- <math>\left \{ \begin{matrix} \cfrac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]; \\ \cfrac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots]. \end{matrix} \right.</math>
Экспоненциальная производящая функция
Для экспоненциальной функции имеем
- <math>\left \{ \begin{matrix} \overline {f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}; \\ \overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}. \end{matrix} \right.</math>
Тогда
- <math>\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x).</math>
Интегральное представление
Когда последовательность может быть представлена в виде интерполяции комплексной функции, биномиальное представление последовательности может быть представлено в виде интеграла Норлунда — Райса от интерполяционной функции.
Обобщение биномиальных преобразований
См. также
Литература
- John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
- Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
- Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
- Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
- Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82
Ссылки
