Русская Википедия:Биномиальное распределение
Шаблон:Вероятностное распределение</math>|
kurtosis =<math>\frac{1-6pq}{npq}</math>|
entropy =<math> \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right) </math>|
mgf =<math>(q + pe^t)^n</math>|
char =<math>(q + pe^{it})^n</math>|
}} Биномиа́льное распределе́ние с параметрами <math>n</math> и <math>p</math> в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из <math>n</math> независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна <math>p</math>.
Определение
Пусть <math display="inline">X_1 ,\ldots, X_n</math> — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром <math>p</math>, то есть при каждом <math>i=1,\ldots, n</math> величина <math>X_i</math> принимает значения <math> 1</math> («успех») и <math>0</math> («неудача») с вероятностями <math>p</math> и <math>q=1-p</math> соответственно. Тогда случайная величина
- <math>Y = X_1+X_2+ \ldots +X_n</math>
имеет биномиальное распределение с параметрами <math>n</math> и <math>p</math>. Это записывается в виде:
- <math>Y \sim \mathrm{Bin}(n,p)</math>.
Случайную величину <math>Y</math> обычно интерпретируют как число успехов в серии из <math>n</math> одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха <math>p</math> в каждом испытании.
Функция вероятности задаётся формулой:
- <math>p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k}, \ \ k=0,\ldots, n, </math>
где
- <math>\binom{n}{k} = C_n^k = \frac{n!}{(n-k)! \, k!}</math> — биномиальный коэффициент.
Функция распределения
Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:
- <math>F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor y \rfloor} \binom{n}{k}\, p^k q^{n-k},\; y \in\mathbb{R}</math>,
где <math>\lfloor y \rfloor</math> обозначает наибольшее целое, не превосходящее число <math>y</math>, или в виде неполной бета-функции:
- <math>F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y ) = I_{1-p}(n-\lfloor y \rfloor,\lfloor y \rfloor +1)</math>.
Моменты
Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:
- <math>M_Y(t) = \left( pe^t + q\right)^n</math>,
откуда
- <math>\mathbb{E}[Y] = np</math>,
- <math>\mathbb{E}\left[Y^2\right] = np ( q + np )</math>,
а дисперсия случайной величины.
- <math>\mathbb{D}[Y] = npq</math>.
Свойства биномиального распределения
- Пусть <math>Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n,p)</math> и <math>Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n, 1-p)</math>. Тогда <math>p_{Y_1}(k) = p_{Y_2}(n-k)</math>.
- Пусть <math>Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,p)</math> и <math>Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,p)</math>. Тогда <math>Y_1 + Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_1+n_2, p)</math>.
Связь с другими распределениями
- Если <math>n=1</math>, то получаем распределение Бернулли.
- Если <math>n</math> большое, то в силу центральной предельной теоремы <math>\mathrm{Bin}(n,p) \approx N( np, npq )</math>, где <math>N(np,npq)</math> — нормальное распределение с математическим ожиданием <math>np</math> и дисперсией <math>npq</math>.
- Если <math>n</math> большое, а <math>\lambda</math> — фиксированное число, то <math>\mathrm{Bin}(n, \lambda / n) \approx \mathrm{P}(\lambda)</math>, где <math>\mathrm{P}(\lambda)</math> — распределение Пуассона с параметром <math>\lambda</math>.
- Если случайные величины <math>X</math> и <math>Y</math> имеют биномиальные распределения <math>\mathrm{Bin}(D,p)</math> и <math>\mathrm{Bin}(N-D,p)</math> соответственно, то условное распределение случайной величины <math>X</math> при условии <math>X+Y=n</math> – гипергеометрическое <math>\mathrm{HG}(D,N,n)</math>.
См. также
Шаблон:Список вероятностных распределений
