Русская Википедия:Бином Ньютона
Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
- <math>(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \dots + \binom{n}{k} a^{n-k}b^k + \dots + \binom{n}{n} b^n,</math>
где <math>\binom{n}{k} \equiv C_n^k = \frac{n!}{k! (n - k)!}</math> — биномиальные коэффициенты, <math>n</math> — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный рядШаблон:Переход.
Примеры:
- <math>
\begin{align}
(x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2, \\ (x + y)^3 &= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\ (x + y)^4 &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\ (x + y)^5 &= x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5.
\end{align} </math> Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля.
Доказательство
Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени <math>a^kb^{n-k}</math> нужно из <math>k</math> скобок выбрать <math>a</math>, а из оставшихся <math>n-k</math> выбрать <math>b</math>. Вариантов выбрать <math>a</math> в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть <math>n</math>. Затем, соответственно, <math>n-1</math>, и так далее до <math>n-k+1</math> на <math>k</math>-м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых <math>k!</math>. Нормируя, получаем в точности <math>C^k_n</math>. Ниже приводится доказательство по индукции. Шаблон:Доказ1 = a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k </math>
Извлечём из второй суммы слагаемое при <math>k=n</math>
- <math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n - k} b ^ {k+1} =
b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k}</math>
Теперь сложим преобразованные суммы:
- <math>a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose k} a ^ {n - k + 1} b ^ k \quad + \quad b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \choose {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k} = a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} + \sum_{k = 1}^n \left( {n \choose k} + {n \choose {k - 1} } \right) a ^ {n - k + 1} b ^ k = </math>
- <math>=\sum_{k=0}^0 {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k \quad + \quad
\sum_{k = n + 1}^{n+1} {n+1 \choose k} a^{n + 1- k}b^k \quad + \quad \sum_{k = 1} ^ {n} {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k= \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \choose k } a ^ {n+1-k} b ^ {k} </math>
Что и требовалось доказать. }}
Обобщения
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции <math>(1 + x)^r</math> в ряд Тейлора:
- <math>(1 + x)^r = \sum_{k=0}^\infty \binom{r}{k} x^k,</math>
где <math>r</math> может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле
- <math>\binom{r}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{n=0}^{k-1} (r - n) = \frac{r(r - 1)(r - 2) \cdots (r - (k - 1))}{k!}.</math>
При этом ряд
- <math>(1 + z)^\alpha = 1 + \alpha z + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} z^2 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} z^n + \ldots</math>
сходится при <math>|z| \leqslant 1</math>.
В частности, при <math>z = \frac{1}{m}</math> и <math>\alpha = x \cdot m</math> получается тождество
- <math>\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{xm} = 1 + x + \frac{xm(xm - 1)}{2m^2} + \ldots + \frac{xm(xm - 1) \cdots (xm - n + 1)}{n!\,m^n} + \ldots.</math>
Переходя к пределу при <math>m \to \infty</math> и используя второй замечательный предел <math>\lim_{m\to\infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m = e</math>, выводим тождество
- <math>e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + \ldots,</math>
которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.
Мультиномиальная теорема
Шаблон:Main Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:
- <math>(x_1 + x_2 + \ldots + x_m)^n =\sum\limits_{k_j \geqslant 0 \atop k_1 + k_2 + \cdots + k_m = n} \binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} \ldots x_m^{k_m},</math>
где
- <math>\binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\,k_2! \ldots k_m!}</math>
суть Мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам <math>k_j</math>, сумма которых равна <math>n</math> (то есть по всем композициям числа <math>n</math> длины <math>m</math>). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения <math>x_j^0 = 1</math>, даже если <math>x_j = 0</math>.
Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по <math>n</math>, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.
При <math>m = 2</math>, выражая <math>k_2 = n - k_1</math>, получаем бином Ньютона.
Полные полиномы Белла
Пусть <math>B_n(a_s) = B_n(a_1, \dots, a_n)</math> и <math>B_0 = 1</math>, тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:
- <math>B_n(a_s + b_s) = \sum_{i+j=n} \binom{n}{i, j} B_i(a_s) B_j(b_s).</math>
История
Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.
Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.
В художественной литературе
В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически)[1]. Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».
В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»
См. также
- Биномиальное распределение
- Биномиальный коэффициент
- Треугольник Паскаля
- Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона
Примечания
Литература
Ссылки
